1.2标量场的方向导数和梯度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第一章 矢量分析,,1.2,标量场的方向导数和梯度,,主要内容,方向导数,,,梯度,,学习目的,掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法,,,掌握方向导数与梯度之间的区别与联系,,,1.2.1,标量场的方向导数,●,●,标量函数 在,M,0,处沿,l,方向的,方向导数,为,推论：,,,表示沿,l,方向,增加,表示沿,l,方向,减少,表示沿,l,方向,不变,含义：,表示标量场 在点,M,0,处沿,l,方向的,变化规律,1,）,,（,2,）,,（,3,）,,,方向导数计算公式：,,【,例,】,求函数 在点,M,（,1,，,-2,，,-1,）处沿矢量 方向的方向导数解,】,矢量,l,在点,M,处的值为,其方向余弦为,故,,1.2.2,标量场的梯度,●,,在,P,点沿哪个方向变化率最快？,由方向导数的定义可知：沿等值面法线,n,的方向导数最大故定义,梯度,大小：,最大变化率,方向：,最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向,其中， 称为哈密顿算子。

梯度的计算公式推导如下：,令方向矢量,其单位矢量为,令某一常矢量,又因为,故当,G,与,l,方向一致时方向导数最大即为梯度，且,,方向导数与梯度的关系：,,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,,对于距离矢量 有以下常用结论：,总结：,（,1,） 为矢量，表示过某点增加率最大2,） 方向垂直于过某点的等值面，即沿法线方向3,） 沿某方向,l,的方向导数为梯度在该方向,l,上的投影例,】,求标量场 在点 与点 处梯度的大小和方向余弦在哪点上的梯度为,0,？,在点 处方向余弦,,在点 处方向余弦,,【,解,】,：标量场的梯度为：,所以,,,若令梯度等于,0,，即满足方程,,,,所以,,,,,,,解得,,,,,故在点 处梯度为,0,,,,【,例,1-5】,,求,r,在,M,（,1,0,1,）处沿 方向的方向导数解,】,,方法一：利用梯度间接求解,,【,解,】,,方法二：利用公式直接求解,,总结,主要内容,,,方向导数 ①,,,,②,,,,,,,,梯度（矢量）,,方向导数与梯度的关系,,作业：,P20 1-5,、,1-6,,。