阿氏圆问题归纳(二).docx

1阿氏圆题型的解题方法和技巧对于此类问以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，题的归纳和剖析显得非常重要 .具体内容如下：阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点 P到两定点A、B的距离之比等于定比 n （W1）,则P点的轨迹，是以定比n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 该圆称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB （kwi）P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 .PA+kPB,（k丰1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xOy中，在x轴、y轴分别有点C（m, 0）, D（0, n）.点P是平面 内一动点，且 OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹 （圆），以点为圆心、r为半径画圆；（若圆已经画出则可省略这一步）第二步：连接动点至圆心 0（将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接 ），即连接OP OD第三步：计算出所连接的这两条线段 OP 0D长度；第四步：计算这两条线段长度的比 k;第五步：在 0D上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆。

交点即为点P.此时CM^所求的最小值.【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到1括号外边，将其中一条线段的系数化成 ；，再构造△相似进行计算 】习题【旋转隐圆】如图，在Rt^ABC中，/ ACB=90 , D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点 M为BD的中点)，若AC=4, BC=3,那么在旋转过程中，线段CM长度的取彳1范围是 .1 .Rt △ ABC中，/ ACB=90 , AC=4 BC=3,点 D 为△ ABC内一动点，满足 CD=2 则 AD+2 BD 3的最小值为.2 .如图，菱形 ABCD勺边长为2,锐角大小为 60° , OA与BC相切于点E,在A上任取一- ， -3 ……点P,则PB+23PD的最小值为2【谢障图】 第1题 第2题3.如图，已知菱形ABCD勺边长为4, ZB=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点，则PD+1 ，一，…-PC的最小值为.24 .如图，点 A, B在OO±, OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点，点 D在OB上，OD=10.动 点P在0上，则PC+1PD的最小值为 .25 .如图，等边△ ABC的边长为6,内切圆记为。

Q P是圆上动点，求 2PB+PM最小值.第3题 第4题 第5题6 .如图，边长为4的正方形，内切圆记为 0, P是圆上的动点，求 J2pa+pb勺最小值.7 .如图，边长为4的正方形，点 P是正方形内部任意一点，且 BP=2则PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8 .在平面直角坐标系 xOy中，A(2, 0), B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2), P是△ AO的卜部的第 象限内一动点，且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是 .9.在4ABC中，AB=9 BC=3/ABC=60 ,A的半径为6, P是A上的动点,连接PR PC,贝U 3PC+2PB勺最小值为4为半径作C.10 .如图，在 Rt^ABC中，/ A=30° , AC=8,以 C为圆心,(1)试判断C与AB的位置关系，并说明理由；(2)点F是C上一动点，点 D在AC上且CD=Z试说明^ FCCH△ ACF^1 …，〃EF+— FA的最小值.211 .(1)如图1,已知正方形 ABCD勺边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+- PC的最小值和PD- - PC的最大值； 2 2(2)如图2,已知正方形 ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD+2PC的最小值为 , PD-2PC的最大值为 .3 3(3)如图3,已知菱形 ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个 动点，那么PD+1PC的最小值为 , PD-1PC的最大值为 .2 2DD12.问题提出：如图 1,在Rt^ABC中，/ ACB=90 , CB=4, CA=6, OC半径为2, P为圆上1一动点，连结 AP、BP,求AP+^BP的最小值.2(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2,连接CP,在CB上取点一一 CD CP 1 PD 1D,使 CD=1,则有——又・. / PCDh BCR .•.△PCD^ △BCP / ,CP CB 2 BP 2.•.PD=-BP, AP+1bP=AP+PD2 21请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP+1BP的最小值为 .2(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1AP+BP的最小值为 .3⑶ 拓展延伸：已知扇形 CO计，/ COD=90 , OC=6 OA=3 OB=5,点P是弧CD上一点，求 2PA+PB的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (aw0)与x轴交于点 A (4, 0),与y轴交于点B,在 x轴上有一动点E (mi 0) ( 0v m< 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线 于点P,过点P作PML AB于点 M(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设ARMN勺周长为C1, 4AEN的周长为C2,若C1 6,求m的值；C2 5⑶如图2,在(2)条件下，将线段 OE绕点O逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va <90 ° ),连接 E' A、E' B,求 E' A+2E' B 的最小值.3,AC=:D,求CD的长.问题背景：如图1,在△ ABC中，BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的 AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CAD=/ B,交BC的延长线于点 问题解决：求^ ABC的面积的最大值.1 .小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：(1)如图1,已知A、R C在格点(小正方形的顶点)上，请你协助小明用两种不同的方法 画出格点D,连接DA DQ使四边形 ABCM邻等四边形；r-r T-r -i r ~r~r _r _r -尝试体验：(2)如图 2,邻等四边形 ABCD43, AD=CD / ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边 形ABCM面积.解决应用：⑶如图 3,邻等四边形 ABCD43, AD=CD / ABC=75 , / ADC=60 , BD=4.小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图 3条件的邻等四边形， 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能， 请求出此时四边形 ABC面积的最小值；如果不能，请说明理由.2 .我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.(1)如图1,在四边形ABCD^,添加一个条彳^使得四边形 ABCD是“等邻边四边形”.请写 出你添加的一个条件.(2)如图2,等邻边四边形 ABCD43, AB=AD / BAD吆BCD=90 , AG BD为对角线，AC=/2AB,试探究BC, BD的数量关系.(3)如图3,等邻边四边形 ABCD43, AB=AD AC=2, / BAD=2 BCD=60 ,求等邻边四边形 ABCD面积的最小值。