2022年兴义地区重点高考一轮复习教学案抽象函数高中数学.docx
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x2．12 抽象函数——抽象函数要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力，在高考命题中也有逐渐加强的趋势一、明确复习目标了解抽象函数的概念和题目形式，掌握一些常用的方法二．建构知识网络1.抽象函数——没有给出函数解析式，只是给出函数所满足的一些性质2.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等3.抽象函数处理方法，主要是“赋值法〞，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用变量代换解题也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口4. “函数式变换与图象的对称性之间的关系〞 (在2.4函数图象变换中已详述)三、双基题目练练手1.(2022山东)定义在R上的奇函数满足，那么= ( ) 〔A〕-1 〔B〕0 〔C〕1 〔D〕22.(2022启东质检)函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，那么f(2022)= ( )A．4012 B．2006 C．2022 D．03.y=f(2x+1)是偶函数，那么函数y=f(2x)的图象的对称轴是〔 〕A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=4.是偶函数，，当时，为增函数，假设，且，那么 〔 〕 5.(2022安徽)函数对于任意实数满足条件,假设f(1)=－5,那么f(f(5))=_______. 6．函数满足：，，那么 。
简答:1-4.BDDB; 3.f(2x+1)关于x=0对称,那么f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 5.,周期是4,6．由：=2，∴,原式=16四、经典例题做一做【例1】函数对一切，都有，求证:〔1〕是奇函数；〔2〕假设f(x)的图象关于直线x=1对称,那么f(x)恒等于0.解：〔1〕在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数〔2〕f(x)是奇函数,那么f(-x)=-f(x).且f(0)=0图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2-x)=f(x)，且f(2)=f(0)=0 又f(x+y)=f(x)+f(y)∴f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)≡0.方法提炼：１．赋值法．赋值的目的要明确，此题就是要凑出f(0),f (-x)与f(x)的关系；２．领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性例2】函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，〔1〕求证：f(x)是偶函数； 〔2〕f(x)在(0,+∞)上是增函数；〔3〕解不等式解：〔1〕令，得，∴，令，得，∴，∴是偶函数〔2〕设，那么∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数〔3〕，∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：，即不等式的解集为【例3】 定义在R上的函数y=f〔x〕，f〔0〕≠0，当x＞0时，f〔x〕＞1，且对任意的a、b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕·f〔b〕.〔1〕求证：f〔0〕=1；〔2〕求证：对任意的x∈R，恒有f〔x〕＞0；〔3〕求证：f〔x〕是R上的增函数；〔4〕假设f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，求x的取值范围.〔1〕证明：令a=b=0，那么f〔0〕=f 2〔0〕.又f〔0〕≠0，∴f〔0〕=1.〔2〕证明：当x＜0时，－x＞0，∴f〔0〕=f〔x〕·f〔－x〕=1.∴f〔－x〕=＞0.又x≥0时f〔x〕≥1＞0，∴x∈R时，恒有f〔x〕＞0.〔3〕证明：设x1＜x2，那么x2－x1＞0.∴f〔x2〕=f〔x2－x1+x1〕=f〔x2－x1〕·f〔x1〕.∵x2－x1＞0，∴f〔x2－x1〕＞1.又f〔x1〕＞0，∴f〔x2－x1〕·f〔x1〕＞f〔x1〕.∴f〔x2〕＞f〔x1〕.∴f〔x〕是R上的增函数.〔4〕解：由f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，f〔0〕=1得f〔3x－x2〕＞f〔0〕.又f〔x〕是R上的增函数， ∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.关键点注：解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是〔3〕中“f〔x2〕=f［〔x2－x1〕+x1］〞是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略.【例4】f(x)是定义在Ｒ上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).(1)求证：f(x)是周期函数； 〔２〕假设，试求f(2001),f(2022)的值。
解：解题要点 用活条件,【研究.欣赏】 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， 〔1〕求的值； 〔2〕对任意的，，都有f(x1)+2
〔1〕求证：时，； 〔2〕如果，解不等式证明(1): 由f(xy)=f(x)+f(y),取x=y=1,f(1)=0,又f(x)递增,故x>1时,f(x)>0;解(2):f(3)=1那么2=f(3)+f(3)=f(9),从而f(x)>f(x-1)+2等价于F(x)>f(x-1)+f(9)=f(9x-9), ∵是增函数, ∴x>9x-9, ∴10.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；(2)假设f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，那么有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立． 综上所述：对任意x∈R恒成立。
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．此题还有更简捷的解法：别离系数由k·3＜-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需k<上述解法是将k别离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．【探索题】1.〔2022重庆〕定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.〔Ⅰ〕假设f(2)=3，求f(1)；又假设f(0)=a，求f(a)；〔Ⅱ〕设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式 2．函数的定义域是满足，求解：把 ①中的x换成得 ②再把换得 ③由①-②+③得。
