极限计算方法及例题.doc

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明2．极限运算法则定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）（2）（3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用3．两个重要极限（1） （2） ； 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授例如：，，；等等。

4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～ 说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）； 则极限也一定存在，且等于，即= 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件6．连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 7．极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：（1） （2） ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 解：原式= 注：本题也可以用洛比达法则例2 解：原式= 例3 解：原式 2． 利用函数的连续性（定理6）求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 3． 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 注：本题也可以用洛比达法则例6 解：原式= 例7 解：原式= 4． 利用定理2求极限例8 解：原式=0 （定理2的结果）5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 解：～，～， 原式= 例10 解：原式= 注：下面的解法是错误的： 原式= 正如下面例题解法错误一样： 例11 解：， 所以， 原式= 最后一步用到定理2）6． 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法同时，洛比达法则还可以连续使用例12 （例4）解：原式= 最后一步用到了重要极限）例13 解：原式= 例14 解：原式== 连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。

正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例例19 解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以x） = （利用定理1和定理2）7． 利用极限存在准则求极限例20 已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 对已知的递推公式 两边求极限，得： ，解得：或（不合题意，舍去）所以 例21 解： 易见：因为 ，所以由准则2得： 。