江苏省2012年专转本高数真题及问题详解.pdf

某某省 2012 年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷二年级须知事项：出卷人：某某建筑大学-X 源教授1、考生务必将密封线内的各项目与第2 页右下角的座位号填写清楚2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效3、本试卷共 8 页,五大题 24 小题,总分为 150 分,考试时间 120 分钟一、选择题本大题共 6 小题,每一小题 4 分,总分为 24 分1、极限lim(2xsin1sin3x)xxxA.0B.2C.3D.5(x 2)sin x,如此函数f(x)的第一类连续点的个数为x(x2 4)2、设f(x)A.0B.1C.2D.33、设f(x)2x 5x,如此函数f(x)A.只有一个最大值B.只有一个极小值4、设z ln(2x)12323在点(1,1)处的全微分为 yA.dx 3dyB.dx 3dyC.5、二次积分A.C.11dx 3dyD.dx 3dy22dy0sec011yf(x,y)dx在极坐标系下可化为4040d0f(cos,sin)dB.d2sec0f(cos,sin)dd42secf(cos,sin)dD.d4sec0f(cos,sin)d6、如下级数中条件收敛的是nA.(1)B.2n 1n1n1x3(1)()nC.2n1n(1)n(1)nD.2nnn1n1二、填空题本大题共 6 小题,每一小题 4 分,共 24 分7 要使函数f(x)(1 2x)在点x 0处连续,如此需补充定义f(0)_）e8、设函数y x(x 2x 1x222x,如此y(7)(0)_9、设y x(x 0),如此函数y的微分dy _.b 2，10、设向量a,b互相垂直,且a 3，,如此a 2b _11、设反常积分 aexdx 1,如此常数a _2(1)n(x 3)n的收敛域为_12、幂级数nn1n3三、计算题本大题共 8 小题,每一小题 8 分,共 64 分x2 2cos x 213、求极限lim3x0 x ln(1 x)1x t dy d2y,214、设函数y y(x)由参数方程所确定,求tdx dxy t2 2lnt15、求不定积分2x 1cos2xdx1dx1x 2x 1216、计算定积分17、平面通过M(1,2,3)与x轴,求通过N(1,1,1)且与平面平行,又与x轴垂直的直线方程18、设函数z f(x,xy)(x y),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数具有二阶连222z续导数,求xy19、函数f(x)的一个原函数为xe,求微分方程y 4y 4y f(x)的通解20、计算二重积分x ydxdy,其中 D 是由曲线y x-1,直线y D1x与x轴所围成的平面2闭区域四、综合题本大题共 2 小题,每一小题 10 分,共 20 分21、在抛物线y x(x 0)上求一点P,使该抛物线与其在点P处的切线与x轴所围成的平面图形的面积为22,并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积322、定义在(,)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)41函数f(x)的表达式；x1f(t)dt x33,试求：.2函数f(x)的单调区间与极值；3曲线y f(x)的凹凸区间与拐点五、证明题本大题共 2 小题,每一小题 9 分,共 18 分23、证明：当0 x 1时,arcsin x x 13x6xg(t)dt0 x 0,其中函数g(x)在(,)上连续,且limg(x)3证24、设f(x)2x01cosxxg(0)x0明：函数f(x)在x 0处可导,且f(0)一选择题1-5 B C C A B D二填空题27-12e128x(1 ln x)dx5ln2(0,6n12三计算题x2 2cos x 213、求极限limx0 x3ln(1 x)x2 2cosx 22x 2sin xx sin x lim lim原式=limx0 x0 x0 x44x32x31x t dy d2y,214、设函数y y(x)由参数方程所确定,求tdx dxy t2 2lntdy2dy2t d()2dydttd ydx 2t原式=2dx1dxdxdx1 2dtt15、求不定积分原式=d(dy)dx2dt22tdx1t2112dtt2x 1cos2xdx2x 1cos2xdx(2x 1)d tan x (2x 1)tan x tan xd(2x 1)1dx1x 2x 1216、计算定积分原式=令2x 1 t,如此原式=3133t1dt 2dt 2arctant2211t1t61t2.17、平面通过M(1,2,3)与x轴,求通过N(1,1,1)且与平面平行,又与x轴垂直的直线方程解：平面的法向量n OM i (0,3,2),直线方向向量为S n i (0,2,3),直线方程：x 1y 1z 10 232218、设函数z f(x,xy)(x y),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数具有二阶连2z续导数,求xy2zz x f2 xyf22 2x2y f12解：f1 f2 y 2xxyx19、函数f(x)的一个原函数为xe,求微分方程y 4y 4y f(x)的通解2解：f(x)(xe)(x 1)e,先求y 4y 4y 0的通解,特征方程：r 4r 4 0,2xxr1、.令特解为y (Ax B)e,2 2,齐次方程的通解为Y (C1C2x)exxx代入原方程得：9Ax6A9B x 1,有待定系数法得：1A 9A 19,所以通解为Y (C C x)e2x(1x 1)ex,解得1219276A9B 1B 2720、计算二重积分闭区域原式=ydxdy,其中 D 是由曲线y x-1,直线y D1x与x轴所围成的平面210ydyy212ydx 1.12四综合题21、在抛物线y x(x 0)上求一点P,使该抛物线与其在点P处的切线与x轴所围成的平面图形的面积为22,并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积322解：设P点(x0,x0)(x0 0),如此k切 2x0,切线：,y x0 2x0(x x0)即,y x0 2x0 x,由题意2x020y x02(y)dy,得x0 2,P(2,4)2x03222、定义在(,)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)4x1f(t)dt x33,试求：.1函数f(x)的表达式；2函数f(x)的单调区间与极值；3曲线y f(x)的凹凸区间与拐点解：1xf(x)4x1f(t)dt x33两边同时对x求导得：f(x)xf(x)4 f(x)3x2即：y 3y 3x,如此y 3x2 cx3由题意得：f(1)2,c 1,如此f(x)3x2 x3x22f(x)3x 6x 0,x1 0,x2 2列表讨论得在(,0)(2,)单调递增,在(0,2)单调递减.极大值f(0)0,极小值f(2)43f(x)6x 6 0,x 1列表讨论得在(,1)凹,在(1,)凸.拐点(1,2)五、证明题23、证明：当0 x 1时,arcsin x x 解：令f(x)arcsin x x 13x611131x2,f(0)0 x,f(0)0,f(x)261 x2f(x)x(1 x)23 x x(1(1 x)231)0,在0 x 1,f(x)单调递增,f(x)f(0)0,所以在0 x 1,f(x)单调递增,如此有f(x)f(0)0,得证.xg(t)dtg(x)0 x 024、设f(x),其中函数在上连续,且lim 3证g(x)(,)x01cosxx2g(0)x0明：函数f(x)在x 0处可导,且f(0)解：因为lim12g(x)g(x)3g(x)3,即lim 3所以有lim2x01cosxx0 xx0122x2x0又因为g(x)在(,)上连续,所以g(0)limg(x)0,如此.。