大数定律及其应用.doc

本 科 毕 业 论 文( ) 题 目: 大数定律及其应用 学 院: 数学与信息科学学院 专　　业: 记录学 班　　级: 09记录 姓 名: 学 号: 指引教师: 完毕日期: 4月1日 目 录§1、引言 2§2、大数定律的发展历程 3§3、常用的大数定律及中心极限定理 4 §3.1常用的大数定律 4 §3.2常用的中心极限定理 5§4、大数定律的应用 6 §4.1大数定律在数学分析中的应用 6 §4.1.1 在积分方面的应用 6 §4.1.2 在极限中的应用 7 §4.2大数定律在生产生活中的应用 9 §4.2.1 误差方面的应用 9 §4.2.2 估计数学盼望和方差 10 §4.3大数定律在经济中的应用 11 §4.3.1 大数定律在保险业中的应用 11 §4.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 12§5、结束语 13§6、道谢 13参照文献 14 . . 大数定律及其应用 （温州大学数学与信息科学学院 09记录） 摘要： 大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性，这一呈现出规律性的变量就是我们常常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均成果将稳定于某一稳定值。

大数定律在概率论中的重要性不言而喻，并且其在数学领域以及经济生活领域也有着非常重要的作用本文列举了我们在大学阶段常常遇到的某些大数定律和中心极限定理，通过某些具体的例题，简介了常用的大数定律和中心极限定理在某些重要领域的应用，具体涉及在数学分析中求极限和积分，预测误差，近似计算，以及在保险业和银行经营管理方面的应用,进一步阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值核心词：大数定律；中心极限定理；经济生活；应用§1、引言 大数定律对于诸多人来说都很陌生，虽然学过概率论的也说不出个因此然记得刚学大数定律的时候，觉得这个定理好难理解，课本反复翻了几次还是不懂感觉这定理没什么作用，理论性这样强，没什么应用价值直到后来学了中心极限定理，简介了其大量应用，例如在保险业中的应用，可以说保险业离不开中心极限定理这才懂得自己错了，本来大数定律也有着非常重要的作用，由于中心极限定理正是基于大数定律的基本上而发展出来的定理，没有大数定律作为基本是不会有中心极限定理的大数定律与中心极限定理是概率论中具有标志性的两类定理，其作用恰如一颗纽带，较好地承办了概率论与数理记录大数定律所要阐明的是大量随机现象平均成果的稳定性，即当样本量很大的状况下，样本的平均值可以近似看作总体平均值。

由于在实际生活中，当我们要考察某一变量，总体数据记录起来往往难度过大甚至不也许，这时我们就需要用到大数定律我们先记录总体的一种样本量，这个样本量要足够大，一般根据总体而定，然后考察这个样本数据的特性，最后样本数据的成果可以近似看作是总体的成果例如：我们要考察某一地区居民的月平均消费水平，如果要去记录这一地区所有居民月消费额工作量就会太大，有了大数定律，我们只要抽取足够数量的居民，记录她们的月消费额，最后这同样本量的平均值就可以近似看作这一地区居民平均消费额这种思想恰恰是概率论中最为重要的思想，而这种思想在数学领域也有着相称重要的作用对于中心极限定理我们要更为熟悉，它比大数定律论述更为具体具体中心极限定理重要论述的是其她分布和正态分布之间的某种内在关系，一般对于某一总体，不管其服从什么分布，泊松分布也好，二项分布也好，只要考察的样本数据量足够大，那么样本的均值就近似服从正态分布§2、大数定律的发展历程对于大数定律，不少人也许有所耳闻，但是对于大数定律的发展历史，也许就很少有人清晰了我们都懂得，大数定律研究的是随机现象记录规律性的一类定理，当我们大量反复某一相似的实验的时候，其最后的实验成果也许会稳定在某一数值附近。

就像抛硬币同样，当我们不断地抛，抛个上千次，甚至上万次，我们会发现，正面或者背面向上的次数都会接近一半除了抛硬币，现实中尚有许许多多这样的例子，像掷骰子，最出名的实验就是泊松抛针实验这些实验都像我们传达了一种共同的信息，那就是大量反复实验最后的成果都会比较稳定那稳定性究竟是什么？如何去用数学语言把它体现出来？这其中会不会有某种规律性？是必然的还是偶尔的？这一系列问题其实就是大数定律要研究的问题很早的时候，人们其实就发现了这一规律性现象，也有不少的数学家对这一现象进行了研究，这其中就涉及伯努利（后来人们为了纪念她，都觉得她是第一种研究这一问题的人，其实在她之前也早有数学家研究过）伯努利在17提出了一种极限定理，当时这个定理还没有名称，后来人们称这个定理为伯努利大数定律因此概率论历史上第一种有关大数定律的极限定理是属于伯努利的，它是概率论和数理记录学的基本定律，属于弱大数定律的范畴我们懂得，当大量反复某一实验时，最后的频率无限接近事件概率而伯努利成功地通过数学语言将现实生活中这种现象体现出来，赋予其确切的数学含义她让人们对于这一类问题有了新的结识，有了更深刻的理解，为后来的人们研究大数定律问题指明了方向，起到了引领作用，其为大数定律的发展奠定了基本。

除了伯努利之外，尚有许许多多的数学家为大数定律的发展做出了重要的奉献，有的甚至花了毕生的心血，像德莫佛—拉普拉斯，李雅普诺夫，林德伯格，费勒，切比雪夫，辛钦等等这些人对于大数定律乃至概率论的进步所起的作用都是不可估计的1733年，德莫佛—拉普拉斯通过推理证明，得出了二项分布的极限分布是正态分布的结论，后来她又在本来的基本上做了改善，证明了不止二项分布满足这个条件，其她任何分布都是可以的，为中心极限定理的发展做出了伟大的奉献在这之后大数定律的发展浮现了停滞直到20世纪，李雅普诺夫又在拉普拉斯定理的基本上做了自己的创新，她得出了特性函数法，将大数定律的研究延伸到函数层面，这对中心极限定理的发展有着重要的意义到19，数学家们开始探讨中心极限定理在什么条件下普遍成立，这才有了后来刊登的林德伯格条件和费勒条件，这些成果对中心极限定理的发展都功不可没通过几百年的发展，大数定律体系已经很完善了，也浮现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，泊松大数定律，马尔科夫大数定律等等正是这些数学家们的不断研究，大数定律才得以如此迅速发展，才得以完善§3、常用的大数定律及中心极限定理§3.1常用的大数定律大数定律形式有诸多种，我们仅简介几种最常用的大数定律。

定理1（伯努利大数定律）在n重伯努利实验中，假设某一事件总共浮现的次数为，并且每次实验中该事件发生的概率是p，其中0

其实从某种限度上来讲，泊松大数定律可以觉得是伯努利大数定律的延伸与普及，我们懂得伯努利大数定律以严谨的数学公式阐明了现实中常常浮现的现象，即当大量反复某一实验时，最后实验的频率无限接近实验的概率但泊松大数定律阐明的是，独立进行的随机实验的频率仍旧具有其平稳性，虽然实验条件发生变化这就是泊松大数定律比伯努利大数定律更为宽泛的地方 定理5（马尔科夫大数定律）对于随机变量序列,若有则有.§3.2常用的中心极限定理 定理 6（列维——林德伯格中心极限定理） 假设随机变量是一系列独立同分布的随机变量,其数学盼望和方差,则对任意实数,均有 我们又称定理6为独立同分布的中心极限定理,从这个定理可以看出正态分布在概率论中的特殊地位,不管呈何种分布,但只要,则有随机变量或者我们可以说,当时,对于一系列随机变量，只要满足独立同分布，则 近似地服从正态分布 定理 7 （拉普拉斯中心极限定理）假设随机变量服从二项分布,那么对于任意的有界区间,恒有体现式成立，这就阐明正态分布是二项分布的极限分布一般地,如果,则 这个公式给出了当较大时，有关二项分布的概率计算措施。

定理 8 （林德伯格定理） 假设是一系列随机变量序列，且互相独立，并且还符合林德伯格的前提假设,则对任何存在的x,均有这个定理证明了如下结论：大量微小并且独立的随机因素引起并积累而成的变量,必将是一种正态随机变量由林德伯格条件可看到定理并不规定各个加项“同分布”,因而它比前面的列维——林德伯格中心极限定理更全面,事实上列维——林德伯格中心极限定理可以由该定理推出阐明：中心极限定理讨论的问题是独立随机变量和的分布的极限问题,一般在一定条件下,这些分布弱收敛于退化分布,我们称这就是大数定律而中心极限定理要证明的问题是，随机变量和的分布与正态分布之间的关系，在其服从正态分布的基本上再来探讨需满足的条件中心极限定理从主线上让我们结识了正态分布产生的源泉,因而可以把中心极限定理看作是正态分布解决多种实际问题的理论基本§4、大数定律的应用§4.1大数定律在数学分析中的应用 §4.1.1 在积分方面的应用我们懂得有时候求积分，被积函数也许会比较复杂，原函数求不出来，然后用一般的近似措施也很难做到，这时我们就需要用到大数定律求解，以大数定律作为理论基本，通过近似求解可获得积分的近似值 例1 令则，用随机投点法求在区间上的积分的近似值.解 服从正方形上的均匀分布，则可知服从上的均匀分布，也服从上的均匀分布，且与独立.又记事件，则的概率为，即定积分的值就是事件的概率.由伯努利大数定律，我们可以用反复实验中浮现的频率作为的估计值。

下面用随机投点法来得到浮现的频率：先用计算机产生上均匀分布的个随机数：，，，这里不妨令.对对数据，，记录满足不等式的次数，就是事件发生的频数，由此可得事件发生的频率，则.又时，模拟值那么所求近似值§4.1.2 在极限中的应用在数学分析中，极限的证明一般也是比较困难的虽然求极限的措施比较多，这里我们同样可以运用概率的措施但是对于较为复杂的极限，概率措施往往难以求出成果，接下来我们就用大数定律来求解这一类问题例2 假设,求下面。