源自河谷的古老文明—— 数学的萌芽.ppt

源自河谷的古老文明源自河谷的古老文明————数学的萌芽数学的萌芽天津师范大学初等教育学院天津师范大学初等教育学院李林波李林波二、古巴比伦数学二、古巴比伦数学主要内容• 1、地理与历史概况 • 2、楔形文字解读 • 3、古巴比伦数学史料 • 3.1 记数法 • 3.2 开方 • 3.3 数表 • 3.4 几何 • 3.5 代数 • 4、总结1 1、地理与历史概述、地理与历史概述• • 古巴比伦，又称美索不达米亚（古巴比伦，又称美索不达米亚（ MesopotamiaMesopotamia），位于亚洲西部的幼发拉底），位于亚洲西部的幼发拉底 河（河（EuphratesEuphrates）与底格里斯河（）与底格里斯河（TigrisTigris）） 两河流域，大体上相当于今天的伊拉克两河流域，大体上相当于今天的伊拉克 • • 两河流域是人类文化的摇篮，这里是一片两河流域是人类文化的摇篮，这里是一片 大平原从公元前从公元前30003000年到公元前年到公元前200200年，年， 这一地区所创造的数学，这一地区所创造的数学，习惯上用古巴比习惯上用古巴比 伦数学一词来概括伦数学一词来概括苏美尔泥板Hammurabi,约公元前1792-约1750在位汉莫拉比法典• 汉姆拉比（Hammurabi）王朝（公元前1795-1750 年） 给我们留下了人类历史上第一部法典——《汉姆拉比法典》。

法典被刻在一块8英尺高的黑色石碑上，石碑于1901年才被发现 • 如果法官判错了案，他将永远被剥夺做法官的权利，并被处以重法；做伪证者将被处以极刑；所有犯有重罪者都要被判以死刑造房子的人如果没有把房屋建好，导致房屋倒塌，房主死亡，则他将被处以极刑如果房主的儿子死亡了，那么建房者的儿子要抵命只有一种方式被告有可能免于一死：允许他投入幼发拉底河，如果滚滚激流将他冲到岸边，结果他没有被淹死，那么他将被宣告无罪；如果淹死了，他就是有罪的 • 自公元前24世纪中叶阿卡德人第一次入侵 建立阿卡德王国（约公元前2371-前2230） ，以后又有阿摩利人、加喜特人、赫梯人 、埃兰人、亚述人、迦勒底人和波斯人等 相继等上统治舞台但是，另人惊讶的是 在这种错综复杂的民族纷争中却维系着高 度统一的文化，史称“美索不达米亚文明 ”，楔形文字的使用可能是这种文化统一 的粘合剂• 苏美尔人按照月亮的盈亏把一年分为12个 月，共354天，同时设闰月调整阴历和阳历 之间的差别 • 到公元前7世纪，又形成了7天一星期的制 度，每天各有一位星神“值勤”，并以他 命名这一天，其顺序是：•苏美尔——阿卡德时期•巴比伦王国时期 •亚述帝国时期 •新巴比伦王国时期 •波斯统治时期——大流士 •塞琉西王国时期——亚历山大帝国分 裂后2、楔形文字解读Pietro della Valle,1586-1652• 17世纪时，意大利旅行家瓦莱(Pietro della Valle,1586-1652)探访波斯西 南部的设拉子（Shiraz），它的东北 有波斯波利斯（Persepolis）废墟， 那是古代大流士宫殿的遗址，他把墙 上的楔形文字摹写下来，带回欧洲。

但是长时间没有人能够认识Georg Friedrich Grotefend,1775-1853• 格雷特芬德是德国格 丁根的一位教古典语 文（希腊、拉丁）的 中学教师，他在前人 探索的基础上， • 从1802年起揭穿了一 部分秘密 • 1837年出版《波斯波 利斯楔形文字新解释 》（Neue Beitrage zur Erlauterung der persepoolitanischen Keilschrift），开辟 了楔形文字研究的道 路• 19世纪70年代，在今伊朗 西部克尔曼沙拉附近发现 了贝希斯敦（Behistun） 石崖，上面用三种楔形文 字记载着波斯王大流士一 世的战功，这三种文字是 古波斯文、巴比伦文和埃 兰（Elam）文对波斯文 的知识致使人们揭开巴比 伦文字的奥秘贝希斯敦悬崖亨利·克雷奇克·罗林森（1810.4.11.－1895.3.5.）英 国驻伊朗外交官，在格罗特芬 德的研究基础上，完善了破译 执法1857年成功的解读了美 索不达米亚的楔形文字 • 50多万块泥板，从产生的年代来看，分属于三个不同的时期：• 第一期是苏美尔文化末期——公元前2100年前后；• 第二期是巴比伦王国时期——约公元前1800-前1600；• 第三期是新巴比伦直到塞琉西王国时期——约公元前600-前200年。

• 对泥板文书中数学内容的解读则一直到1926-1950年才取得突破从内容看，几十万块泥板中确实属于数学的只有300块左右，而其中约200块是数表，包括乘法表、倒数表、平方表和立方表• 1935年-1937年，诺伊 格鲍尔（Otto Neugebauer,奥地利-美 国科学史家）出版三大 卷的《数学楔形文字泥 板》用德文翻译并注释 ，常简称为MCT.3、古巴比伦数学史料3.1 3.1 巴比伦记数法巴比伦记数法早在公元前早在公元前4 4，，5 5千年，两河流域（在今伊千年，两河流域（在今伊 拉克境内）的苏美尔人（拉克境内）的苏美尔人（SumerianSumerian）就创）就创 造了楔形文字（造了楔形文字（cuneiformcuneiform）后来传给巴）后来传给巴 比伦人（比伦人（BabylonBabylon）3.1 3.1 巴比伦记数法巴比伦记数法巴比伦记数法并巴比伦记数法并不是不是纯粹的位值制纯粹的位值制而而 是是和简单累数制混在一起的和简单累数制混在一起的6060以下以下 用用1010进简单累数制，进简单累数制，6060以上用以上用6060进的进的 位值制下面两个图形分別表示11及 1× 60+12＝72。

例如：(1) （50 + 7）（30 + 6）（10 + 5）表示1× 603+57× 602+36× 60+15 = 423,375分隔符的使用分隔符的使用可能表示3， 也可能表示 1× 602+ 1× 60+ 1= 3661为了解决这个问题，引入了一种分隔符号为了解决这个问题，引入了一种分隔符号• • 分隔号是分开两个分隔号是分开两个 （注意（注意﹕ ﹕这与这与 20 20 的写法不同）；另一个作用是表的写法不同）；另一个作用是表明有一个空位，相当于零号明有一个空位，相当于零号 例如• • 完整的位值制，零号是不可缺少的，然而完整的位值制，零号是不可缺少的，然而 它的出现要比位值思想晚得多两河流域它的出现要比位值思想晚得多两河流域 的楔形文字记数法，直到塞琉西（的楔形文字记数法，直到塞琉西（ SeleucidSeleucid）王国时期（公元前）王国时期（公元前312-312-前前6464）） 才有相当于零的符号才有相当于零的符号但上述的零号只具但上述的零号只具 有现今零号的一部分功能，它只能表示空有现今零号的一部分功能，它只能表示空 位，不能表示末位是零的数。

位，不能表示末位是零的数3.2 3.2 开方术开方术• 设设 ，， 是第一个近似值是第一个近似值；则第二个近似值为；则第二个近似值为 如果 太小，则太小，则 太大，反之亦然取太大，反之亦然取 （总是大于真实值）（总是大于真实值） ，， （小于真实值），取（小于真实值），取 ，，…… 同样的程序可以不断进行下去同样的程序可以不断进行下去 图9-4 的60进制近似值1; 24, 51,10（耶鲁大学藏巴比伦泥版 7289号） 3.3 数表• 在300块数学泥版中，约有200块载有数表：乘法表、倒数表、平方表、立方表、乘方表、平方根表、立方根表。

倒数表• 地质学家W· K· 劳夫特斯于1854年发掘出 两块泥板(称为森开莱泥板)其中一块上面刻 着一个数列，用现代符号来写，前七个数是 1，4，9，16，25，36，49．显然这是一个 自然数平方的数列．49以下自然应该是64， 81，…．但记载的却是1· 4， 1· 21，… 到58· 1．这个问题只有在六十进位记数制 中才能得到妥善的解释： • 1· 4=1×60+4=64， • 1· 21=1×60+21=81， • 58· 1=58×60＋1=3481=592．指数方程指数方程3.4 3.4 代数学问题代数学问题代数学是算术的发展，它们的根本区别可以从两代数学是算术的发展，它们的根本区别可以从两 方面阐述：方面阐述： • • 代数学引入了代数学引入了未知数未知数，并对未知数加以计算，根，并对未知数加以计算，根 据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数 的值算术也有未知数，这未知数就是问题的答的值算术也有未知数，这未知数就是问题的答 案，一切运算只允许对已知数进行案，一切运算只允许对已知数进行 • • 符号符号的引入，用来表示未知数、已知数和各种运的引入，用来表示未知数、已知数和各种运 算，列算，列方程方程 然后求解。

然后求解一元一次方程• 一块石头，加上它的1/7，得到一个重量， 在这个重量之上再加上它的1/11，得到一 马那（mana，重量单位）问这块石头原 来有多重？二元一次方程组一元二次方程两类典型问题两类典型问题• • 两数互为倒数，其和或差等于某一已知数，求两数互为倒数，其和或差等于某一已知数，求 这两数两数之积是两数之积是a a，两数之和（或差）是，两数之和（或差）是b b，求这，求这 两个数例：有一矩形，长加上例：有一矩形，长加上 宽是宽是27’27’，长宽之差加上，长宽之差加上它的面积等于它的面积等于 ，问，问长和宽各是多少长和宽各是多少例：有一矩形，长加上例：有一矩形，长加上 宽是宽是27’27’，长宽之差加上，长宽之差加上它的面积等于它的面积等于 ，问，问长和宽各是多少长和宽各是多少例例 “ “两数互为倒数，两者之两数互为倒数，两者之 差是差是7 7，求这两个数求这两个数 ”这些资料已说明：巴比伦 人已经掌握二次方程的求 根公式它们是怎样发现 这些公式的呢？古巴比伦人的泥板中也不 乏三次方程的例子3.5 几何• 古巴比伦人已经掌握了三角形、梯形等平面图形面积，棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积公式。

• 圆面积通常被取作为半径平方的三倍，因此圆周率取为3后来在另一块泥板上发现有时也用3又1/8作为圆周率的值3.5 3.5 几何几何• • 就现在的史料来看，在勾就现在的史料来看，在勾 股定理与勾股数方面，股定理与勾股数方面，古古 巴比伦人的成就远远走在巴比伦人的成就远远走在 其他文明古国（印度、中其他文明古国（印度、中 国、埃及等）的前面国、埃及等）的前面• • 例：有一根长例：有一根长5 5米的木梁竖直靠米的木梁竖直靠 在墙上，上端下滑在墙上，上端下滑1 1米，问下端米，问下端 离墙根多远？离墙根多远？耶鲁大学所藏的YBC7289号泥版见右图•在伊拉克巴格达博物馆所藏泥版，• 一块Susa泥版上有这样的问题：已知等腰 三角形三边分别为50、50 、 60， 求三角 形外接圆半径 苏萨苏萨泥版亚述-巴比伦时。