概率论与数理统计期末证明题专项训练.doc

证明题专项训练1. 设总体X~N(0，),是一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计2. 设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值求的最大似然估计量并证明它为的无偏估计3. 设总体X服从未知是X的一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计4. 设，试证：5. 若随机变量，则.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，而和分别来自总体和的样本，试证统计量参考答案1. 解: X的二阶矩为: 1’X的二阶样本矩为 1’令： , 1’解得: , 的矩估计量 2’, 它为的无偏估计量. 3’2. 解: 似然函数为 ，相应的对数似然函数为 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为 2’, 它为的无偏估计量.3. 解: 样本的似然函数为: 2’而 1’ 令: , 1’解得: 的最大似然估量 2’, 它为的无偏估计量. 2’4. 证明： 因为 ， 即 （） 5. 解法一：的分布函数为 （5分）令，得 所以. （5分）解法二：令，则在上严格单调递增其反函数为，， （4分） 的密度函数为 所以. （6分）6. 由于X1,X2,……,X9是来自正态总体的样本，且都服从标准正态分布N(0,1),则【】由于Y1,Y2,……,Y9相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则【】又因为两个随机变量X,Y相互独立由t分布可知【】即统计量Z服从t分布，参数为9，得证.。