《拉氏变换详解》PPT课件.ppt

1)例例1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏的拉氏变换单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏的拉氏变换为为 (2)例例2.求求单位脉冲函数位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏的拉氏变换变换数学知识回顾1 f(t)= 的拉氏变换的拉氏变换几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)2 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和氏变换之和 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值时的初始值3 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换4(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。

时的值证：设证：设 则有则有 由上述微分定理，有由上述微分定理，有5即：即：同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 6（（4）终值定理）终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限7注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，不存在，则不能用终值定理如对正弦函数和余弦则不能用终值定理如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理函数就不能应用终值定理5)初值定理：初值定理：证明方法同上只是要将证明方法同上只是要将 取极限6)位移定理：位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以8b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以，原函数应乘以 即：即：(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。

即：样倍数即： 证：证：9(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积数的乘积即即证明：证明：10 11 1. 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换记为称为拉氏反变换记为 由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的所有极点的实部 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必必须是一种能直接查到的原函数的形式须是一种能直接查到的原函数的形式 12 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到分分式的拉氏变换在表中可以查到例例1：：例例2：求：求 的逆变换。

的逆变换解：解：13例例3.142. 拉式反变换拉式反变换——部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法v（（1）情况一）情况一:F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和总能展开成如下简单的部分分式之和151617v（（2）情况）情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点例例2：求解微分方程：求解微分方程18v（（3）情况）情况3:F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重重极点极点 ,而其余极点均不相同而其余极点均不相同那么那么19202122v如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解也可得解也可得解233、线性定常微分方程的求解【例2－6 P25】下图中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.试求电路突然接通电源时电容电压的变化规律rLCur(t)uc(t)i(t)24解：已求得微分方程为拉氏变换得25代入得根据初值定理、终值定理…26 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用的传递函数，用G(s)表示。

表示 设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是27 c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：到系统传递函数为：分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次即为系统的阶次28 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即 , ,若若m>n,m>n,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理不可实现的系统是传递函数的极点极点的根是函数的零点零点，的根，称为传递是0)()2 , 1(0)()2 , 1()())(()())(()()()(210210======------==sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmLLLL292.性质性质 (1)传递函数与微分方程一一对应传递函数与微分方程一一对应 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。

传递传递函数表征了系统本身的动态特性传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性效地描述了系统的固有特性 (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映且内部许多中间变量的变化情况无法反映 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了确反映系统的动态特性了 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出不能反映非零初始条件引起的输出 30例例1：：RC电路如图所示电路如图所示依据：基尔霍夫定律依据：基尔霍夫定律 消去中间变量消去中间变量 ，，则微分方程为：则微分方程为：31可用方框图表示可用方框图表示对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：32解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：3334方法二：双方法二：双T网络不可看成两个网络不可看成两个RC网络的串网络的串联，即：联，即：35传递函数的基本概念￿例１[例2-9 P31]求电枢控制式直流电动机的传递函数。

[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：令 ，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：3637典型环节的特性典型环节的特性 控制系统是由许多环节组成的，为控制系统是由许多环节组成的，为了研究控制系统的特性，有必要首先研了研究控制系统的特性，有必要首先研究其各个组成部分的特性，即研究究其各个组成部分的特性，即研究各个各个环节环节的特性 不同物理性质，不同结构用途的环不同物理性质，不同结构用途的环节可以表现出相同的动态特性，可以有节可以表现出相同的动态特性，可以有相同的数学模型，所以这里按相同的数学模型，所以这里按数学模型数学模型对环节进行分类对环节进行分类38 1、比例环节、比例环节（（1）微分方程）微分方程 c (t) = K r (t) K 为常数为常数 任意时刻，输出与输入成比例任意时刻，输出与输入成比例2）传递函数）传递函数 K为常数为常数 （（3）动态结构图）动态结构图（（4）动态特性）动态特性 r (t) = 1(t) c (t) = K• 1(t)输出不失真，不延迟，成比例地输出不失真，不延迟，成比例地表现输入信号的变化。

表现输入信号的变化迅速、准确地表现输入信号的变化）（迅速、准确地表现输入信号的变化）39（（5）举例：）举例：a、工作于线性状态的电子放大器，其惯、工作于线性状态的电子放大器，其惯性很小可以近似地看成一个比例环节性很小可以近似地看成一个比例环节b、测速发电机空载时，它的输出电压与、测速发电机空载时，它的输出电压与输入转速成正比例关系带负载时，略去输入转速成正比例关系带负载时，略去其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，仍近似地把它视为一个比例环节仍近似地把它视为一个比例环节402-4 结构图结构图 我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来[ [定义定义] ]：：表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图X(t)Y(t)电位器电位器[例]：结构：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿结构图：￿￿￿￿￿￿微分方程：y(t)=kx(t)￿￿￿￿￿若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。

X(s)G(s)=KY(s)41 (3)比较点：比较点： 综合点，相加点综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出加号常省略，负号必须标出 (4)引出点：引出点： 一条传递线上的信号处处相等一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相，引出点的信号与原信号相等G(s)X(s)Y(s)2. 组成组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同的信号处处相同 （（2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数42结构图等效变换例子结构图等效变换例子||例例2-11[例1]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应根据电路定理，有以下式子：---43绘图：绘图：ui(s)为输入，画在最左边。

为输入，画在最左边这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组——代数方程组代数方程组——结构图，而是直接列写结构图，而是直接列写s域中的代数方程，域中的代数方程，画出了结构图画出了结构图44若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？？(刚才中间变量为刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：从右到左列方程：45 这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，选择不同的中选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的输入输出关系是不会变的绘图绘图46（（1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)＝＝47(2)并联并联G(s)X(s)Y(s)＝＝X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)48(3)反馈反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明可能是正，我们用消去中间法来证明R(s)C(s)C(s)G(s)H(s)E(s)R(s)＝＝49以后我们均采用以后我们均采用Ф(s)表示闭环传递函数，表示闭环传递函数，负反馈时，负反馈时， Ф(s)的分母为的分母为1＋回路传递函数，＋回路传递函数，分子是前向通路传递函数。

分子是前向通路传递函数正反馈时，正反馈时， Ф(s)的分母为的分母为1－回路传递函数，－回路传递函数，分子为前向通路传递函数分子为前向通路传递函数单位负反馈时，单位负反馈时，50（（4）信号引出点的移动：）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端信号分支点的移动和互换信号分支点的移动和互换51信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分支点的移动和互换 引出点从环节的输出端移到输入端：[注意]： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例52信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分支点的移动和互换 同一信号的分支点位置可以互换：见下例 相加点和分支点在一般情况下，不能互换常用的结构图等效变换见表2-1 所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动53结构图等效变换例子结构图等效变换例子||例例2-11[例2]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数总的结构图如下：---54结构图等效变换例子结构图等效变换例子||例例2-11 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换一个可能的变换过程如下：--①--②55结构图等效变换例子结构图等效变换例子||例例2-11--③-④56[解]：结构图等效变换如下：[例3]系统结构图如下，求传递函数 。

相加点移动-+①57-+②结构图等效变换例子结构图等效变换例子||例例2-1258小结小结结构图的概念和绘制方法；结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；作业：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e)592-5 信号流图信号流图 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系它也是控制系统的一种数学模型在求复杂系统的传递函数时较为方便60一、信号流图及其等效变换一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络见下图： 信号流图的概念信号流图的概念节点：节点表示变量以小圆圈表示支路：连接节点之间的有向线段支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号61上图中， 两者都具有关系: 支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路 信号流图的概念信号流图的概念62信号流图的术语信号流图的术语[几个术语]： 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。

如： C 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点如：E，P，Q 混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加 前向通路：信号从输入节点到输出节点传输时，每个节点只通过一次的通路叫前向通路 输入节点(源点)：只有输出支路的节点如： R，N63 回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路 互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路信号流图的术语信号流图的术语 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益64信号流图的性质v节点表示系统的变量一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示v支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号v信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系v对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的信号流图的性质67信号流图的绘制信号流图的绘制[信号流图的绘制]： ⒈ 根据结构图例2 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。

然后画出信号流图如下图所示68信号流图的绘制信号流图的绘制⒉ 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制如前例所对应的代数方程为按方程可绘制信号流图69梅逊公式的推导梅逊公式的推导二、二、梅逊公式的推导梅逊公式的推导如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程70于是可求得该方程组的系数行列式和 梅逊公式的推导梅逊公式的推导71根据克莱姆法则得 于是传递函数为 分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路 梅逊公式的推导梅逊公式的推导72图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） 所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 而△值恰好为 可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征 梅逊公式的推导梅逊公式的推导73 如果把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为△k。

由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式R→V1 → V3 → V2 → CP1=bde△1=1R → V2 → CP2=f△2=1－m－ldR → V1 → V2 → CP3=bg△3=1梅逊公式的推导梅逊公式的推导74故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为 梅逊公式的推导梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式△２除以R(s)而 恰好为 前向通道前向通道增益余子式R→V1 → V3 → V2 → CP1=bde△1=1R → V2 → CP2=f△2=1－m－ldR → V1 → V2 → CP3=bg△3=175梅逊公式梅逊公式 用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输即总传递函数）其表达式为：式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：二、二、梅逊公式梅逊公式76（正负号间隔）式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和； 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和； 所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；梅逊公式梅逊公式77梅逊公式梅逊公式||例例4[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：[例4]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。

79图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触总传输为：梅逊公式梅逊公式||例例480梅逊公式梅逊公式||例例4讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样不能合并因为a、b两点的信号值不一样上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并为什么？81梅逊公式梅逊公式||例例5[例5]：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数[解]：在结构图上标出节点，如上然后画出信号流图，如下：++--82回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：梅逊公式梅逊公式||例例5求 ：前向通道有二，分别为:83梅逊公式梅逊公式||例例5求 ：（兰线表示） 不变红线表示）注意：上面讲 不变，为什么？ 是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下84梅逊公式注意事项梅逊公式注意事项注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。

也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数85梅逊公式梅逊公式||例例6[例6]数数有几个回路和前向通道 有四个回路，分别是：它们都是互相接触的 有九条前向通道，分别是：86梅逊公式梅逊公式||例例6 对应的结构图为：--+++++为节点注意：①信号流图与结构图的对应关系；②仔细确定前向通道和回路的个数87小结小结 信号流图的组成；术语； 信号流图的绘制和等效变换； 梅逊公式及其应用； 信号流图和结构图之间的关系小结小结作业：2-2188。