学案5空间直角坐标系.ppt

考点一,考点二,考点三,返回目录,1.空间直角坐标系的概念 （1）OABC—D′A′B′C′是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向，以线段OA,OC,OD′的长为单位长，建立三条数轴:x轴,y轴,z轴.也就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，其中点O叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做 ,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.,x轴,y轴,z轴,坐标平面,返回目录,(2)在平面上画空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy= ，∠yOz= .(3)点P在各坐标平面内的特点①若点P在xOy平面内，则P的坐标为 ;②若点P在xOz平面内，则P的坐标为 ;③若点P在yOz平面内，则P的坐标为 .(4)点P在坐标轴上的特点①若点P在x轴上,则P的坐标为 ;②若点P在y轴上，则P的坐标为 ;③若点P在z轴上，则P的坐标为 .,135°,90°,(x,y,0),(x,0,z),(0,y,z),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),返回目录,2.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，则d(P1,P2)= 特别地，P(x,y,z)到原点的距离d(O,P)= . 3.空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式 (1)已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2的中点P的坐标为 . (2)已知△ABC的三顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心G的坐标为 .,返回目录,在四棱锥 P—ABCD中 ， 底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°, AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD，∠PDA=30°,AE⊥PD于E.试建立适当的坐标系，求出各点的坐标.,【分析】 由题意易知，AP，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.,考点一 确定空间点的坐标,返回目录,【解析】如图所示，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵AB=BC=a，∴点A（0，0，0）， B（a，0，0）， C（a，a，0）. ∵AD=2a，∴D（0，2a，0）. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.,又∵∠PDA=30°,∴PA=ADtan30°= a.故点P(0，0， a).∵面PAD⊥面ABCD，过E作EF⊥AD于F，则F为E在底面ABD内的射影，在Rt△AED中，∵∠EDA=30°,∴AE= AD=a,故E(0， ， a).,返回目录,返回目录,在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.,＊对应演练＊,设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为a,建立适当的坐标系,求点S,P1,P2,P3和P4的直角坐标.,以底面中心作为坐标原点,棱P1P2,P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图).正四棱锥S—P1P2P3P4如图所示,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥Oy轴,P1P4⊥Ox轴,SO在Oz轴上.,返回目录,∵d(P1,P2)=a,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,∴P1( , ,0),P2( , ,0).又P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,∴P3( , ,0),P4( , ,0).又∵d(S,P1)=a,d(O,P1)= a,∴在Rt△SOP1中,d(S,O)=∴S(0,0, ).,返回目录,返回目录,正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜ ）.（1）求MN的长；（2）求a为何值时，MN的长最小.,【分析】条件中存在两两垂直的三条直线，故可以建立空间直角坐标系.,考点二 空间直角坐标系的综合应用,返回目录,【解析】 ∵面ABCD⊥面ABEF， 面ABCD∩ 面 ABEF=AB,AB⊥BE, ∴BE⊥面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直. ∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.,则M( a，0，1- a),N( a , a，0). ∴|MN|= ∴当a= 时,|MN|最短,为 ，此时,M，N恰为AC，BF的中点.,返回目录,利用空间两点间距离公式求线段MN的长度，再利用二次函数求线段MN长的最小值，这也是最基本的方法.,返回目录,返回目录,＊对应演练＊,在正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.,由于S—ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射 影R在OC上，又底面边长为a，所以OC= a，而侧棱长也为a，所以SO=OC，于是PR=RC，故可以设P点的坐标为(-x，x， a - x)（x＞0）,又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为（y，y，0），因此P，Q两点间的距离为 d= 显然当x= ，y=0时d取得最小值，d的最小值等于 ，这时，P恰好为SC的中点，Q恰好为底面的中心.,返回目录,返回目录,如图所示,以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,点P在正方体的对角线AB上,点Q在棱CD上.(1)当点P为对角线AB的中点时,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;(2)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值.,考点三 空间中两点间距离公式的应用,返回目录,【解析】 (1)因为B(0,0,a),A(a,a,0),P为AB的中点,所以P( , , ). 又因为Q在CD上运动，所以可设Q（0,a,z0),其中z0∈［0,a］,因此 |PQ|= 可知,当z0= 时,|PQ|取最小值 a.,【分析】先写出相关点的坐标,再根据两点间距离公式求最值.,(2)显然,当P在AB上运动时,P到坐标平面xOz,yOz的距离相等,且P在第一象限,所以可设P(t,t,a-t),t∈［0,a］,又Q在CD上运动,所以可设Q(0,a,z0),z0∈［0,a］, 所以|PQ|= 当且仅当z0=t= 时,|PQ|取最小值 a.,返回目录,返回目录,(1)解决这类题的关键是正确地写出相关点的坐标，否则就会出现错误的答案. (2)就本题而言,从表面上看,是用变量表示了|PQ|,求出了P,Q两点距离的最小值,事实上,从几何角度上看,第(1)问中,P,Q的最小距离也就是定点P到定直线CD的距离.第(2)问中,P,Q的最小距离就是异面直线AB与CD间的距离.因此,本题也可以用立体几何知识证得,当P,Q分别为AB,CD的中点时,PQ就是AB与CD的公垂线段,这时的|PQ|就是|PQ|的最小值,从而可知空间两点的距离公式在立体几何有关距离的问题中有很大用途.,返回目录,＊对应演练＊,(1)若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是 ;(2)若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5,则x,y,z满足的关系式是 ;(3)已知空间两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3).在z轴上有一点C,它到A,B两点的距离相等,则C点的坐标是 .,返回目录,(1) 2x+2y-2z-3=0(2) (x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25(0,0, ) ((1)由|PA|=|PB|得 即(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2. 化简得2x+2y-2z-3=0.,(2) , 所以(x-2)2+(y-1)2+(z-4)2=25.(3) 设C点坐标为(0,0,z),则 所以10+(z-1)2=8+(z-3)2,解得z= ，所以点C的坐标为0,0, .),返回目录,返回目录,高考对本学案内容的考查为:建立空间直角坐标系,写出一些点的坐标,然后利用空间向量的有关知识求与该坐标有关的量(如距离、夹角等）.,祝同学们学习上天天有进步！,。