《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学必修5高三第一轮复习课件.ppt

考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．热点提示1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题．2．与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点.zz1 1．正弦定理：在一个三角形中，各．正弦定理：在一个三角形中，各边边的的长长和和它所它所对对角的正弦的比相等，即角的正弦的比相等，即 zz3 3．余弦定理：三角形任何一．余弦定理：三角形任何一边边的平方等于其他的平方等于其他两两边边的平方的和减去的平方的和减去这这两两边边与它与它们夹们夹角的余弦角的余弦的的积积的二倍，即的二倍，即zz4 4．正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形．正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问问题题的两个重要定理，它的两个重要定理，它们们可以解决以下一些三可以解决以下一些三角形角形问题问题：：zz(1)(1)利用正弦定理可以解决：利用正弦定理可以解决：zz①①已知两角和已知两角和，求其他，求其他和一角；和一角；zz②②已知已知 和其中一和其中一边边的的对对角，求另一角，求另一边边的的 ，，从而从而进进一步求出其他的一步求出其他的边边和角．和角．任一边两边两边对角zz(2)利用余弦定理可以解决：zz①已知三边，求；zz②已知，求第三边和其他两个角．zz同时，在利用正弦定理解决zz“ ”的问题时，要结合图象并根据“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍．三个角两边和它们的夹角已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边答案：C 答案：D zz4 4．已知．已知△△ABCABC的三个内角的三个内角A A、、B B、、C C成等差数列，成等差数列，且且ABAB＝＝1 1，，BCBC＝＝4 4，，则边则边BCBC上的中上的中线线ADAD的的长为长为________________．．zz解析：解析：如右图所示，如右图所示，B B＝＝60°60°，，ABAB＝＝1 1，，BDBD＝＝2. 2.zz由余弦定理知由余弦定理知zzADAD＝＝zz5 5．根据下列条件，解．根据下列条件，解△△ABCABC：：zz(1)(1)已知已知b b＝＝4 4，，c c＝＝8 8，，B B＝＝30°30°，求，求C C、、A A、、a a；；zz(2)(2)已知已知B B＝＝30°30°，，b b＝＝ ，，c c＝＝2 2，求，求A A、、C C、、a a；；zz(3)(3)已知已知b b＝＝6 6，，c c＝＝9 9，，B B＝＝45°45°，求，求C C、、a a、、A A. .zz【例【例1 1】】　在　在△△ABCABC中，中，zz(1)(1)若若b b＝＝ ，，c c＝＝1 1，，B B＝＝45°45°，求，求a a及及C C的的值值；；zz(2)(2)若若A A＝＝60°60°，，a a＝＝7 7，，b b＝＝5 5，求，求边边c c. .zz思路分析：思路分析：(1)(1)可直接使用正弦定理求解，注意可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．zz(2)(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求况一般用正弦定理解，但本题不求B B，并且求出，并且求出sinsinB B后发现后发现B B非特殊角，故用正弦定理不是最佳非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于选择，而应直接用余弦定理列出关于c c的方程求的方程求解．解．zz变式迁移 1　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.zz【例【例2 2】】　在　在△△ABCABC中，若中，若b b＝＝4 4，，c c＝＝3 3，，BCBC边边上上的中的中线线ADAD＝＝，求，求A A，，a a，，S S△△ABCABC. .zz变式迁移变式迁移 2 2　　如右如右图图所示，所示，在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ADAD∥∥BCBC，，ABAB＝＝5 5，，ACAC＝＝9 9，，∠∠BCABCA＝＝30°30°，，∠∠ADBADB＝＝45°45°，求，求BDBD的的长长．．zz【例【例3 3】】　在　在△△ABCABC中，中，a a、、b b、、c c分分别别表示三个内表示三个内角角A A、、B B、、C C的的对边对边，如果，如果( (a a2 2＋＋b b2 2)sin()sin(A A－－B B) )＝＝( (a a2 2－－b b2 2)sin()sin(A A＋＋B B) )，判断三角形，判断三角形ABCABC的形状．的形状．zz解法一：解法一：由已知得由已知得a a2 2[sin([sin(A A－－B B) )－－sin(sin(A A＋＋B B)] )]zz＝＝b b2 2[ [－－sin(sin(A A＋＋B B) )－－sin(sin(A A－－B B)] )]，，zz∴∴2 2a a2 2coscosA AsinsinB B＝＝2 2b b2 2coscosB BsinsinA A. .zz由正弦定理，得由正弦定理，得zzsinsin2 2A AcoscosA AsinsinB B＝＝sinsin2 2B BcoscosB BsinsinA A，，zz∴∴sinsinA AsinsinB B(sin(sinA AcoscosA A－－sinsinB BcoscosB B) )＝＝0 0，，zz∴∴sin2sin2A A＝＝sin2sin2B B，由，由0<00>0，利用，利用该结论该结论解解选择题选择题或填空或填空题题，十分，十分方便．方便．zz zz3. 3.在判断三角形的形状在判断三角形的形状时时，一般将已知条件中的，一般将已知条件中的边边角关系利用正弦定理或余弦定理角关系利用正弦定理或余弦定理转转化化为为角角角角的关系或的关系或边边边边的关系，再用三角的关系，再用三角变换变换或代数式或代数式的恒等的恒等变变形形( (如因式分解、配方等如因式分解、配方等) )求解，注意等求解，注意等式两式两边边的公因式不要的公因式不要约约掉，要移掉，要移项项提取公因式，提取公因式，否否则则会有漏掉一种形状的可能．会有漏掉一种形状的可能．zz4. 4.在解三角形中的三角在解三角形中的三角变换问题时变换问题时，要注意两点：，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角二是要用到三角变换变换、三角恒等、三角恒等变变形的原形的原则则和和方法．方法．“ “化繁化繁为简为简”“”“化异化异为为同同” ”是解此是解此类问题类问题的突的突破口．破口．。