向量和向量范数.doc

3.4 向量和矩阵范数3.4.1 内积与向量范数　　为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间.　　定义4.1 设(或)，，，实数或复数，称为向量x与y的数量积也称内积.　　非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数.　　定理4.1　设 设(或)则内积有以下性质：　　(1) ，当且仅当x=0时等号成立；　　(2) ,或；　　(3) ,或；　　(4) ；　　(5) 　　　　　　　(3.4.1)称为Cauch-Schwarz不等式.　　(6) ，称为三角不等式.　　定义4.2　向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件：　　(1) ‖x‖≥0,当且仅当x=0时等号成立(正定性)；　　(2) (齐次性)；　　(3) (三角不等式)；则称是上的一个向量范数.　　对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数.　　　　　　(称为∞-范数)　　　　　　(称为1-范数)容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义　　　　　但只有p=1,2,∞时的三种范数是常用的向量范数.　　例如给定,则可求出　　定理4.2　设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数.　　定理4.3　设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使　　　　　　　　　　　　(3.4.2)不等式称为向量范数等价性.　　以上两定理证明可见［2］，［3］.讲解：　　在向量得内积（x,y）的性质中，定理4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当x＝0或y＝0时（3.4.1）成立，现设，考察　　若取　　则上式为　　于是　　两边开方则得（3.4.1）　　利用（3.4.1）直接可证三角不等式，从而可证明向量2一范数，满足定义中的三个条件。

及是三种最常用的范数　　实际上可以给出很多不同的向量范数，只要证明它们满足定义4.2中的三个条件，定理4.3表明任意的两种向量范数及，它们都是等价的，对于的等价性在习题10中给出，可自己证明。