初中数学换元法专题讲座.doc

初中数学换元法专题讲座讷河市孔国乡进化中心学校 刘桂兰一、相关概念1、换元就是引入辅助未知数，把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法2、换元的目的是化繁为简，化难为易，连接已知和未知例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等换元的关鍵是选择适当的式子进行代换3、换元要注意新旧元的取值范围的变化要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验4、二元对称方程（组）二元对称方程：方程中的未知数x、y互换后，方程保持不变的方程称为二元对称方程；二元对称方程组：由两个二元对称方程组成的方程组称为二元对称方程组解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换5、倒数方程倒数方程：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等推荐精选例如：一元四次倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0设x+=y, 那么x2+= y2－2, 原方程可化为ay2+by+c－2=0对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是－1。

原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程形如：ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数两边都除以x2, 可化为a(x2+)－b(x－)+c=0设x－=y, 则x2+=y2+2, 　原方程可化为 ay2－by+c+2a=0二、例题讲解例1 解方程=x解：设=y, 那么y2=2x+2原方程化为：　y－y2=0 推荐精选解得 y=0；或y=2当y=0时，　=0 (无解) 当y=2时，　=2， 解得，x=　　检验（略） 例2 解方程：x4+(x－4)4=626解：（用平均值　代换，可化为双二次方程设 y= x－2 ，则x=y+2　　　　原方程化为　　(y+2)4+(y－2)4=626 ［(y+2)2－(y－2)2]2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理，得y4+24y2－297=0 (这是关于y的双二次方程)y2+33)(y2－9)=0 　 当y2+33=0时，　无实根 ； 　　当y2－9=0时，　y=±3。

即x－2=±3， 　　∴x=5；或x=－1例3 解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，两边除以x2,并整理　得2(x2+)+3(x+)－16=0 设x+=y,　则x2+=y2－2原方程化为　2y2+3y－20=0 推荐精选解得　y=－4；或y=由y=－4得　x=－2+；或x=－2－由y=得　x=2；或x=例4　解方程组解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换设x+y=u, 　xy=v 原方程组化为： 解得；　　或即　；　　或 解得：；或；或；或三、练习题 解下列方程和方程组：（1—13题）：1、 35－2x2、(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)23、(2x+7)4+(2x+3)4=32 推荐精选4、(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=165、(2)4+(2)4=16 　　　　7、2x4－3x3－x2－3x+2=08、 　　　　　 　9、10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 11、 　　　　　　　12、。

13、 　　　　　　14、 分解因式：　 ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；　 ②a4+b4+(a+b)4 15、 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989　　　则a=___,b= ____,c=_____,d=____16、［a］表示不大于a的最大整数，如［］=1，［－］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x－ 的所有根的和是_____推荐精选练习题参考答案推荐精选1、 　2、 ±± 　　　3、 － 　　　 4、 2,－,　 5、 6、 1 7、,2 　8、9、 　10、－,－ 　　　11、 　 12、13、 　　　14、①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y 15、设原式=k, k=442 　　　　 16、 –2可设2x－=t, x=t+代入[3x+1] （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选。