破解2 考察随机现象.pdf

17 第二章 考察随机现象 引子 法格逊猜想纠差错 德布丰试验显奇观 无限小数圆周率， 数码分布藏规律. 投针试验更奇特， 布丰公式解疑虑. 圆是人们最常见的一种曲线，也是人们最常用的一种曲线. 你一定很早就认识圆了，早就知道圆的周长与直径之比是一个常数，而且知 道这个比值与圆的大小无关，称为圆周率. 然而关于圆周率的历史，你知道得可 能不是太多，这儿介绍两个与随机现象有联系的故事. 是的, 人们早就知道圆周率是一个常数，但人们对它的认识却进展缓慢, 很 多有关圆周率之谜至今还没有解决. 于是，一部计算圆周率的历史，被誉为人类 “文明的标志”. 公元前 3 世纪，伟大的古希腊数学家、力学家阿基米德(Archimedes,公元前 287～前 212)在著作《圆的度量》中，首先记载着用计算圆的内接和外切正多边形的周长来接近圆的周长，得到圆周率的值在71223和722之间，取小数约为 3.14. 约公元 150 年，著名的天文学家亚历山大里亚的托勒密(Ptolemy Claudius,约 85～165)在其著作《数学汇编》中给出的圆周率的值是120377或 3.14167. 我国第一个找到圆周率计算方法的是魏晋时期的数学家刘徽(约 225～295)， 他在公元 263 年，首创用圆的内接正 3072 边形的面积来接近圆的面积(称为割圆术)的方法求得圆周率为12503927=3.1416, 比托勒密又精确了一步. 刘徽在《九章算术注》中论述的割圆术在世界上是首创的，比国外早一千二百年. 人们为了纪念 刘徽，称 3.14 为徽率. 又过了约两百年，我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之（429～500）仍然用 刘徽的方法，一直算到正 12288 边形的边长，并算了正 12288 和正 24576 边形的 面积，确定了圆周率在 3.1415926 与 3.1415927 之间，且选用了两个分数作为圆周率的近似值：约率722、密率113355. 祖冲之的这一光辉成果，保持了世界记录 900多年，其中的密率直到 1573 年才由德国数学家奥托提出. 人们为了纪念这位卓越 数学家的不朽功绩，特将月球背面的一个山脉以“祖冲之”命名. 公元 1424 年，阿拉伯数学家阿尔·卡西(Kashi)，计算了圆内接和外切正18 805306368 边形的周长得出圆周率精确到 17 位的近似值 3.14159265358979325， 第一个打破了祖冲之的记录. 1596 年，德国-荷兰数学家鲁多尔夫（Rudolff, 1540～1610）用了毕生的时 间把圆周率算到了小数点后 35 位. 人们在他的墓碑上刻下了他一生心血的结晶： 圆周率的 35 位小数值. 至今德国还称圆周率为鲁多尔夫数. 前面, 计算圆周率都是用几何方法计算的. 阐述了整式方程根和系数的关系 的法国数学家韦达(Viete Fracosis,1540～1603), 在 1593 年给出了圆周率的第 一个分析表达式, 开辟了计算圆周率的新途径. 于是, 圆周率的计算记录扶摇直 上，一个接一个地被刷新：1706 年，英国数学家梅钦将圆周率的计算越过了百位 大关，1842 年达到了 200 位，1854 年突破了 400 位…… 与此同时, 1617 年，英 国数学家奥特雷德首先将圆周率与希腊字母π联系起来；1706 年英国另一位数学 家琼斯(Jones)首次用单独的π表示圆周率. 1872 年，英国学者威廉·尚克斯（Shank，1812～1882）把π的值算到了小数 点后 707 位. 为此，他花费了整整 20 年. 尚克斯去死后，人们也在他的墓碑上刻 下了π的 707 位小数. 此后半个多世纪， 人们对威廉· 尚克斯的计算结果深信不疑. 概率论的诞生, 统计和概率思想方法的渗入，使数学家法格逊(Fenguson)从 统计的角度对尚克斯的计算结果产生了怀疑. 法格逊认为：既然π是无限不循环小 数, 那么在π的数值式中， 0 到 9 这十个数码中每个数码的出现可以看作是随机的， 而且出现的可能性大小应该是相等的, 不会对某个数码有所偏爱. 他大胆的提出 了一个猜想：在π的数值式中各数码出现的频率相等，都应当等于 0.1. 于是，他 检查了威廉·尚克斯π的头 608 位小数中，各数码出现的情况，统计结果如下： 数码 出现次数 出现频率 与设想频率相差 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 0.099 0.102 0.110 0.112 0.105 0.092 0.102 0.072 0.095 0.110 -0.001 +0.002 +0.010 +0.012 +0.005 -0.008 +0.002 -0.028 -0.005 +0.010 608 1.000 结果不太符合法格逊的猜想, 法格逊坚持自己的观点，认为大概是尚克斯计 算有错. 为了证实他的猜想，他下定决心，用当时最先进的计算工具，手动式计 算器从 1944 年 5 月到 1945 年 5 月，整整算了一年，终于发现：尚克斯π的 707 位小数中，只有前 527 位是正确的. 尽管这个猜想导致法格逊发现并纠正了尚克斯的错误，然而猜想毕竟不等于 事实！法格逊想验证它，却无能为力，当时人们也爱莫能助. 计算机的问世，使π值的计算有了飞速进展. 1985 年，美国学者利用新的计 算公式和新型计算机已经将π的值计算到 1700 万位数字，令人瞠目结舌！在这期19 间，人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火. 1973 年，法国的学者 让·盖尤与芳旦娜小姐合作，对π的前一百万位小数中各数码出现的频率，进行了 统计，得出以下结果： 数码 出现次数 出现频率 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 99959 99758 100026 100229 100230 100359 99548 99800 99985 100106 0.1000 0.0998 0.1000 0.1002 0.1002 0.1003 0.0995 0.0998 0.1000 0.1001 1000000 1.0000 从表上看出：尽管数字出现也有点微小的起伏，但基本上不相上下, 秋色平 分. 看来，法格逊的猜想是正确的，十个数码的出现是均衡有规律的！在概率意 义下, π的这种正则性得到了验证, 但是否完全正则, 还需要严格的证明, 至今仍 然是一个谜. 在计算圆周率π的同时，理论上对π的研究也有进展. 1761 年，瑞士数学家朗 伯特(Lambert)第一个证明了π是一个无理数(无限不循环小数). 1882 年，德国数 学家林德曼又首次证明了π是一个超越数， 即π不是任何一个有理系数代数方程的 根. 人们还发现，越来越多的是数学理论与π这个数值发生了联系，例如在数论、 三角函数、解析几何、微积分甚至椭圆函数论、非欧几何等数学学科都可以看到 包含π的数学公式. 最有趣的是在研究随机现象规律性时，居然可以用与圆丝毫不 相干的试验方法计算出π的值. 公元 1777 年的一天，法国数学家德·布丰的家里宾朋满座，济济一堂，他们 是应主人的邀请前来观看一次试验的. 开始，年已古稀的布丰兴致勃勃地拿出一张白纸来，纸上预先画好了一条条 等距离的平行线. 接着他又抓出一大把事先准备好的小针，这些小针的长度恰是 平行线间距离的一半. 然后布丰和蔼可亲地请来宾们把这些小针一根一根往纸上 扔，试验就这样地进行. 客人们不知所以，既来了，只好客随主意，一个个加入了试验. 而布丰本人 与一位朋友则不停地在一旁数着、记着，一把小针扔完了，把它捡起来又扔. 如 此这般，忙碌了将近一个小时. “女士们, 先生们，我这里记录了各位来宾刚才的投针结果，共计投针 2212 次，其中与平行线相交的有 704 次. 总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142.”试 验后，布丰满意地宣布. 停顿了片刻，布丰神秘地笑道： “这就是圆周率π的近似 值！ ”语调平稳，声音响亮. 惊讶，怀疑，来宾们一时议论纷纷，大家全感到莫名其妙： “投针，与平行线 可能相交, 可能不相交, 完全是随机的，与圆周率半点也没有沾边呀！ ” 20 “不信，还可再试，投的次数越多，越准确.” 布丰补充说道. π在这种杂乱随机的场合出现，确实出乎人们的意料，然而它却是千真万确的 事实. 随后，布丰向宾客们介绍了自己的论文《或然性算术试验》 ，在论文中，布 丰讨论了一类用几何方法求概率的问题，解释了投针试验的原理. 布丰投针试验的原理，一般需应用微积分求面积的方法给出严格的证明. 其 实也没什么神秘, 下面介绍一个简单而巧妙的初等证明. 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离 d. 那么无论怎 样扔下圆圈，不管是相交还是相切, 都将和平 行线有两个交点, 如图. 如果圆圈扔下的次数为 n 次，那么相交的交点总数必为 2n. 现在把圆圈拉直，使其变成一根铁针. 则针 长为πd, 显然,这样的针扔下时与平行线相交的 情形要比圆圈复杂些，可能有 4 个交点，3 个交 点, 2 个交点，1 个交点，甚至于交点个数为 0. 由于这是随机现象中的多次重复试验, 在大 量试验中, 有 4 个交点与没有交点出现的可能是相同的, 有 3 个交点与有 1 个交 点出现的可能也是相同的, 因此上述五种情况平均有两个交点. 或者根据机会均 等的原理，圆圈和直线的长度相等，当它们投掷次数较多且相等时，两者与平行 线组交点的总数可望也是完全一样的. 这就是说，当长为πd 的铁丝扔下 n 次时， 与平行线相交的交点总数大致也为 2n. 现在转而讨论针长为 l 的情形. 当投掷次数 n 增大的时候，这种铁针跟平行线 相交的交点总数 m 应当与长度 l 成正比: m:(2n)= l:(πd) 从而 π=dmn2l 这，就是数学史上著名的布丰公式布丰公式布丰公式布丰公式！ 当针长 l 恰等于平行线间距离 d 的一半时，上面公式可简化得： π=mn后来有不少数学家也做过这样的试验，用同样的方法来计算π值. 下面是投针 试验的历史资料(其中设定平行线的距离为 1): 实 验 者 年份 针长 投掷次数 相交次数 π的实验值 Wolf Smith De Morgan,C. Fox Lazzerini Reina 1850 1855 1860 1884 1901 1925 0.8 0.6 1.0 0.75 0.83… 0.5419 5000 3204 600 1030 3408 2520 2532 1218.5 382.5 489 1808 859 3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.1415929 3.1795 注：该表引自 Gridgeman,N.T.Geometric probability and the number π. Seripta Mathematica,25(1960),183-195. 其中最为神奇的要算意大利数学家拉查里尼(Lazzerini). 他求得π的近似值 为 3.1415929. 与π的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同！用如此轻21 巧的办法，求到如此高精度的π值，这真是天工造物！ 不过，对于拉查里尼的结果，人们一向非议甚多. 究其原因，也不能说都没有道理，因为在数学中可以证明，投出密率的概率总小于751. 但多数人鉴于拉查里尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了好运气”. 计算π的这一方法,不但因其新颖、奇妙而令人拍案叫绝，而且开。