76隐函数的求导公式.ppt

7-6 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1复复 习习1.1.多元复合函数的导数多元复合函数的导数同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加方法：方法：方法：方法：2.2.求多元复合函数的导数的步骤：求多元复合函数的导数的步骤：画出变量关系图；画出变量关系图；画出变量关系图；画出变量关系图；由关系图得出求导公式由关系图得出求导公式由关系图得出求导公式由关系图得出求导公式; ; ; ;求出所需的偏导数求出所需的偏导数求出所需的偏导数求出所需的偏导数( ( ( (或导数或导数或导数或导数);););); 代入公式代入公式代入公式代入公式, , , ,化简即可化简即可化简即可化简即可. . . .如如如如的导数为的导数为的导数为的导数为则则则则2 第七章 第六节一、一元隐函数的求导公式一、一元隐函数的求导公式 二、二元隐函数的求导公式二、二元隐函数的求导公式隐函数的求导公式 3u基本概念：基本概念：基本概念：基本概念：1.隐函数隐函数定义：定义： 形如形如显函数：显函数： 形如形如等的函数等的函数.2.求导方法：求导方法： 显化法显化法.直接求导法直接求导法.如如4本节讨论两个问题本节讨论两个问题:1) 方程在什么条件下才能确定隐函数方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程当当 C < 0 时时, 能确定隐函数能确定隐函数;当当 C > 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性研究其连续性、可微性 及求导方法及求导方法 .5定理定理1. 设函数设函数则方程则方程单值连续单值连续函数函数 y = f (x) ,并有并有连续连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下：①① 具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足②②③③满足条件满足条件导数导数一、一元隐函数的求导公式一、一元隐函数的求导公式6两边对两边对 x 求导：求导：在在的某邻域内的某邻域内则则若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数 :则还有则还有7若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数 :则还有则还有8例例1. 验证方程验证方程在点在点(0,0)某邻某邻域域可确定一个单值可导隐函数可确定一个单值可导隐函数解解: 令令连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,①导的隐函数导的隐函数 则则②③在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且并求并求910两边对两边对 x 求导求导导数的另一求法导数的另一求法 —直接求导法直接求导法令令 x = 0 , 注意此时注意此时两边对两边对 x 求导求导11例例212定理定理2 . 若函数若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程则方程在点在点并有并有连续偏导数连续偏导数定一个定一个单值连续单值连续函数函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足①① 在点在点满足满足:②②③③某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确二、二元隐函数的求导公式二、二元隐函数的求导公式13两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得则则则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足满足某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确14解解解解15例例416例例5解解17解法解法1 利用公式利用公式设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导例例6. 设设18例例6. 设设利用隐函数求导利用隐函数求导再对再对 x 求导求导解法解法219例例7. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数,利用偏导数公式利用偏导数公式.确定的隐函数确定的隐函数,则则已知方程已知方程故故解解20公式法公式法：：说明：说明：谁看成变量谁看成变量.时把谁看成常量，时把谁看成常量，注意求注意求直接法直接法：： 两边求导两边求导,这时若对这时若对x求导求导,把把z看成看成x和和y的函数的函数1.求隐函数求隐函数 偏导的两个方法偏导的两个方法能确立函数能确立函数的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ,① 在点在点条件是条件是：： 函数函数 满足满足:②③问题问题:21设设，，根据隐函数存在定理，根据隐函数存在定理， 存在存在点点 的一个邻域，在此邻域内，该方程的一个邻域，在此邻域内，该方程（（A））只能确立一个具有连续偏导的隐函数只能确立一个具有连续偏导的隐函数（（B））可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数（（C））可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数（（D））可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数设设则则例例8 x=x(y,z)和和z=z(x,y)y=y(x,z)和和z=z(x,y) x=x(y,z)和和y=y(x, z)22内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理23作业：作业：P311,1(1)(2),2,3(1)P311,1(1)(2),2,3(1)预习：从预习：从312312到到316316页页24。