现代概率论习题(2011修订)-encryption.pdf

《现代概率论基础(第二版)》汪嘉冈 编著习题参考答案 可测空间1第二章 测度与积分29第三章 独立随机变量序列65第四章 条件期望与鞅 1.1若 {An,n ≥ 1} 为单调集合序列， 证明 limnAn存在， 且limnAn= ∪∞n=1An,An递增 ∩∞n=1An,An递减证明(1) 若 An递增， 则limnAn=∞∩k=1∞∪n=kAn=∞∩k=1∞∪n=1An=∞∪n=1An;lim nAn=∞∪k=1∞∩n=kAn=∞∪k=1Ak=∞∪n=1An.故 lim nAn= lim nAn=∪∞n=1An， 即 limnAn存在且 lim nAn=∪∞n=1An.(2) 若 An递减， 则lim nAn=∞∩k=1∞∪n=kAn=∞∩k=1Ak=∞∩n=1An;lim nAn=∞∪k=1∞∩n=kAn=∞∪k=1∞∩n=1An=∞∩n=1An.故 limnAn= limnAn=∩∞n=1An， 即 limnAn存在且 limnAn=∩∞n=1An.习题 1.2若 Ω 为实直线，An= (−∞,an),n ≥ 1．试问 limnAn和 lim nAn是什么集合？解由集合的上下极限的定义， 有lim nAn=∞∩k=1∞∪n=kAn=∞∩k=1∞∪n=k(−∞,an) =∞∩k=1(−∞,sup n≥kan)= (−∞, inf k≥1sup n≥kan) = (−∞,limnan);lim nAn=∞∪k=1∞∩n=kAn=∞∪k=1∞∩n=k(−∞,an) =∞∪k=1(−∞, inf n≥kan)= (−∞,sup k≥1inf n≥kan) = (−∞,lim nan) 1.3若 {An,n ≥ 1} 为互不相交的集合序列， 证明 limn→∞∪∞j=nAj= ∅.证明由于 {∞∪j=nAj,n ≥ 1} 是递减序列，根据习题1.1的结论可知 limn→∞∪∞j=nAj存在且 lim n→∞∪∞j=nAj=∞∩n=1∞∪j=nAj．而∞∩n=1∞∪j=nAj= {ω : ∀n ≥ 1,∃j(ω) > n,使得ω ∈ Aj(ω)}.假设∞∩n=1∞∪j=nAj̸= ∅, 则存在 ω0∈∞∩n=1∞∪j=nAj, 即对∀n ≥ 1,∃j(ω0) > n, 使得 ω0∈ Aj(ω0).取n1,n2≥ 1, 存在 jk(ω0) > nk, 使得 ω0∈ Ajk(ω0),k = 1,2, 即 ω0∈ Aj1(ω0)∩Aj2(ω0).这与 {An,n ≥ 1} 为互不相交的集合序列矛盾. 因此， limn→∞∞∪j=nAj= ∅.习题 1.4证明：(1) (lim nAn)c= limnAcn;(2) limn(An∪Bn) = limnAn∪limnBn;(3) lim n(AnBn) = (lim nAn)(lim nBn);(4) lim nAnlimnBn⊂ limn(AnBn) ⊂ limnAnlimnBn.证明(1) 由集合的运算法则， 有(lim nAn)c= (∞∪k=1∞∩n=kAn)c=∞∩k=1(∞∩n=kAn)c=∞∩k=1∞∪n=kAcn= lim nAcn.(2) 由集合的运算法则， 有lim n(An∪ Bn) =∞∩k=1∞∪n=k(An∪ Bn) =∞∩k=1[(∞∪n=kAn)∪ (∞∪n=kBn)]= (∞∩k=1∞∪n=kAn)∪ (∞∩k=1∞∪n=kBn) = limnAn∪ limnBn.(3) 由集合的运算法则， 有lim n(AnBn) =∞∪k=1∞∩n=k(AnBn) =∞∪k=1[(∞∩n=kAn)∩ (∞∪n=kBn)]= (∞∪k=1∞∩n=kAn)∩ (∞∪k=1∞∩n=kBn) = (lim nAn)(lim nBn).(4) 若 ω ∈ lim nAnlimnBn， 则 ω ∈ lim nAn且 ω ∈ limnBn， 即 ∃k ∈ N， 使得当 n ≥ k时，有 ω ∈ An，且 ω ∈ Bn对无限个 n 成立. 从而 ω ∈ AnBn对无限个 n 成立．故ω ∈ limn(AnBn)， 那么 lim nAnlimnBn⊂ limn(AnBn) 1.可测空间3若 ω ∈ limn(AnBn)， 则 ω ∈ (AnBn对无限个 n 成立． 故 ω ∈ An对无限个 n 成立；且 ω ∈ Bn对无限个 n 成立．即 ω ∈ lim nAn且 ω ∈ lim nBn，故 ω ∈ lim nAnlim nBn，因此 lim n(AnBn) ⊂ lim nAnlim nBn．综上所述， lim nAnlim nBn⊂ lim n(AnBn) ⊂ lim nAnlim nBn.习题 1.5证明：(1) A△B = Ac△Bc,C = A△B ⇐⇒ A = B△C ;(2) (A△B)△C = A△(B△C);(3) 若 A∪N1= B∪N2， 则 A△B ⊂ N1∪N2;若 A△N1= B△N2， 则 A△B = N1△N2⊂ N1∪N2;(4) (∪nAn)△(∪nBn) ⊂∪n(An△Bn);(∩nAn)△(∩nBn) ⊂∪n(An△Bn).证明(1) 由集合的运算法则， 有Ac△Bc= (Ac∪ Bc) \ (Ac∩ Bc)= (Ac∪ Bc) ∩ (Ac∩ Bc)c= (Ac∪ Bc) ∩ (A ∪ B)= (A ∩ B)c∩ (A ∪ B)= ((A ∪ B) \ (A ∩ B)= Ac△Bc.若 C = A△B， 则 C = (A \ B) ∪ (B \ A)， B△C = (B \ C) ∪ (C \ B)， 而B \ C = B \ (A \ B) ∪ (B \ A) = B \ (B \ A) = B \ (B ∩ Ac)= B ∩ (B ∩ Ac)c= B ∩ (A ∪ Bc) = A ∩ BC \ B = [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ B = [(A \ B) \ B] ∪ [(B \ A \ B]= (A \ B) ∪ ∅ = A \ B = A \ (A ∩ B)故 B△C = (B \ C) ∪ (C \ B) = (A ∩ B) ∪ [A \ (A ∩ B)] = A.若 A = B△C，根据上面的证明，A,C 的任意性以及 A△B = B△A 可知 C =A△B C = A△B ⇐⇒ A = B△C.(2) 因为A△(B△C)= A△[(B \ C) ∪ (C \ B)]= A△[(B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)]= {A \ [(B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)]} ∪ {[(B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)] \ A}= {A ∩ [(B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)]c} ∪ {[(B ∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc)] ∩ Ac}= {A ∩ [(C ∩ Bc) ∪ (B ∩ Cc)]} ∪ {[(B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac)]}= {A ∩ {[(C ∩ Bc) ∩ Cc] ∪ [(C ∩ Bc) ∩ B]}} ∪ {[(B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac)]}= {A ∩ [(Bc∩ Cc) ∪ (B ∩ C)]} ∪ [(B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac)]= [(A ∩ Bc∩ Cc) ∪ (A ∩ B ∩ C)] ∪ [(B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac)]= (A ∩ Bc∩ Cc) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac)利用同样的方法， 我们易得(A△B)△C = (A ∩ Bc∩ Cc) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∩ Ac∩ Cc) ∪ (C ∩ Bc∩ Ac),所以 (A△B)△C = A△(B△C).(3) 对于 ∀ω ∈ A△B = A \ B + B \ A， 若 ω ∈ A \ B， 则 ω ∈ A ∪ N1= B ∪ N2，而 ω 不属于 B， 故 ω ∈ N2．同理， 若 ω ∈ B \ A， 则 ω ∈ N1．因此， ω ∈ N1∪ N2， 即A△B ⊂ N1∪ N2．因为 A△N1= B△N2， 所以 A△(A△N1) = A△(B△N2)， 即(A△A)△N1= (A△B)△N2,∅△N1= (A△B)△N2.故 N1= (A△B)△N2. 因此，N1△N2= [(A△B)△N2]△N2= (A△B)△(N2△N2) = (A△B)△∅ = A△B .又因为 N1△N2= (N1∪N2)\(N1∩N2) ⊂ N1∪N2, 从而 A△B = N1△N2⊂ N1∪N 1.可测空间5(4) 因为(∪nAn)△(∪nBn) = [(∪nAn) \ (∪nBn)] ∪ [(∪nBn) \ (∪nAn)]= [(∪nAn) ∩ (∪nBn)c] ∪ [(∪nBn) ∩ (∪nAn)c]= [(∪nAn) ∩ (∩nBcn)] ∪ [(∪nBn) ∩ (∩nAcn)]注意到∩nBc n⊂ Bcn0，∩nAc n⊂ Acn0， 对 ∀n0∈ N 成立， 故(∪nAn) ∩ (∩nBcn) ⊂ (∪nAn) ∩ Bcn0=∪n(An∩ Bcn0) =∪n(An\ Bn0),(∪nBn) ∩ (∩nAcn) ⊂ (∪nBn) ∩ Acn0=∪n(Bn∩ Acn0) =∪n(Bn\ An0),对 ∀n0∈ N 成立， 所以(∪nAn)△(∪nBn) = [(∪nAn) ∩ (∩nBcn)] ∪ [(∪nBn) ∩ (∩nAcn)]⊂ [∪n(An\ Bn)] ∪ [∪n(Bn\ An)]=∪n[(An\ Bn) ∪ (Bn\ An)]即 (∪nAn)△(∪nBn) ⊂∪n(An△Bn).此外，(∩nAn)△(∩nBn) = [(∩nAn) \ (∩nBn)] ∪ [(∩nBn) \ (∩nAn)]= [(∩nAn) ∩ (∩nBn)c] ∪ [(∩nBn) ∩ (∩nAn)c]= [(∩nAn) ∩ (∪nBcn)] ∪ [(∩nBn) ∩ (∪nAcn)]注意到∩nBn⊂ Bn0，∩nAn⊂ An0， 对 ∀n0∈ N 成立， 故(∩nAn) ∩ (∪nBcn) ⊂ (∪nBcn) ∩ An0=∪n(An0∩ Bcn) =∪n(An0\ Bn),(∩nBn) ∩ (∪nAcn) ⊂ (∪nAcn) ∩ Bn0=∪n(Bn0∩ Acn) =∪n(Bn0\ An),对 ∀n0∈ N 成立， 所以(∩nAn)△(∩nBn) = [(∩nAn) ∩ (∪nBcn)] ∪ [(∩nBn) ∩ (∪nAcn)] [∪n(An\ Bn)] ∪ [∪n(Bn\ An)]=∪n[(An\ Bn) ∪ (Bn\ An)]即 (∩nAn)△(∩nBn) ⊂∪n(An△Bn).习题 1.6对任何集合序列 {An,n ≥ 1}，令 B1= A1，Bn+1= Bn△An+1,n ≥ 1. 证明：此时 limnBn存在当且仅当 limnAn= ∅.证明=⇒) 若 limnBn存在，则 lim nBn= lim nBn. 因为 Bn+1= Bn△An+1,n ≥ 1，由习题1.5 (1)知，An+1= Bn△Bn+1,n ≥ 1. 令 B0= ∅，有 A1= B0△B1= ∅△B1= B1,故 An= Bn−1△Bn,n ≥ 1， 且集合序列 {Bn,n ≥ 0}， {Bn,n ≥ 1} 有相同的极限点集，即 limnBn−1= limnBn. 若li。