16行列式按行列展开.ppt

例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式．．例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ．．例如例如定理３定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则例例7例增４例增４ 计算行列式计算行列式解解例增例增5 书上习题一书上习题一6（（4））证明：证明：; ;证：证： 证毕例增例增7，书上习题一，书上习题一8(6) 解解：：例增例增8 书上习题一书上习题一8(4)解：解：由此得递推公式：由此得递推公式： 即即 而而 得得  证证用用数学归纳法数学归纳法例例12 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式设法把设法把Dn降阶：从第降阶：从第n行开始，后行减去前行行开始，后行减去前行的的x1倍，有倍，有 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例增例增6：书上习题一：书上习题一8（（3））计算下列行列式：计算下列行列式：提示：利用范德蒙德行列式的结果。

提示：利用范德蒙德行列式的结果显然，此行列式为范德蒙德行列式显然，此行列式为范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即例例3：：关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质解：解：＝＝0分析：注意本题是求第四行各元素余子式之和，分析：注意本题是求第四行各元素余子式之和，而不是求第四行各元素代数余子式之和而不是求第四行各元素代数余子式之和有两种方法求解：一是分别求出四个余子有两种方法求解：一是分别求出四个余子式，再求和；二是将余子式转化为代数余式，再求和；二是将余子式转化为代数余子式后组成新的行列式，再求解子式后组成新的行列式，再求解 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结三、小结思考题思考题求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成箭形行列式。