因式分解的常用方法例题解析大全.pdf

1 因式分解的基本方法概述A.因式分解的一般步骤（1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；B.因式分解的基本方法一提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二运用公式法：（1）a2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) a22ab+b2=(ab)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4) a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ；三分组分解法. 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式【例题 1】分解因式：ayaxyx22解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx【例题 2】分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba【例题 3】分解因式：bxbyayax5102解法一：原式=)5()102(bxbyayax=)5()5(2yxbyxa=)5)(2(yxba解法二：原式=)510()2(byaybxax=)2(5)2(baybax=)5)(2(yxba四十字相乘法. 一般二次三项式2axbxc型的因式分解由2121 22 1121122()()()a a xa ca c xc ca xca xc我们发现， 二次项系数a分解成12a a，常数项c分解成12cc，把1212,a a c c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到122 1a ca c，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分2 解成1122()()a xca xc，其中11,a c位于上一行，22,a c位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。

特点： （1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和例题 1】分解因式：652xx解：652xx=32)32(2xx=)3)(2(xx（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件： （1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa【例题 2】分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx（三）二次项系数为1 的齐次多项式【例题 3】分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式【例题 4】22672yxyx1 -2y 2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式 =)32)(2(yxyx分解因式：（1）224715yxyx3 （2）8622axxa（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba五、换元法。

例题 1】分解因式（1）2005)12005(200522xx（ 2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解： （1）设 2005=a，则原式 =axaax)1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式 =222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式 =2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx【例题 2】分解因式262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 这种多项式属于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法解：原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx原式 =6)2222ttx （=10222ttx=2522ttx=215222xxxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx六添项、拆项、配方法例题 1】分解因式（1）4323xx解：原式 =33123xx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)331)(1(2xxxx=2)2)(1(xx【例题 2】3369xxx解：原式 =)1() 1() 1(369xxx4 =)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx七待定系数法。

例题】分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm原式 =)32)(23(yxyx。