s平面和z平面之间的映射课堂PPT.ppt

4.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例14.1.1 s平面和平面和z平面的基本映射关系平面的基本映射关系s平面与平面与z平面映射关系：平面映射关系：是是2 的周期函数的周期函数注意到注意到故有故有复变量复变量z的模及相角与复变的模及相角与复变量量s的实部和虚部的关系的实部和虚部的关系 图图4-1 s平面与平面与z平面平面2s平面和平面和z平面的具体映射关系平面的具体映射关系1.s平面虚轴的映射平面虚轴的映射 s平面整个虚轴映射为平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任平面单位圆，左半平面任一点映射在一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外表表4-1 s平面与平面与z平面关系平面关系几何位置几何位置几何位置几何位置虚轴虚轴=0任意值任意值单位圆周单位圆周=1任意值任意值左半平面左半平面<0任意值任意值单位圆内单位圆内<1任意值任意值右半平面右半平面>0任意值任意值单位圆外单位圆外>1任意值任意值3s平面和平面和z平面的具体映射关系平面的具体映射关系2. 角频率角频率ωω与与z平面相角平面相角θθ关系关系 us 平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上同一点。

平面上同一点u每当每当ωω变化一个变化一个ωωs s 时，时，z平面相角平面相角θθ变化变化2π，即转了，即转了1周u若若ωω在在s平面虚轴上从平面虚轴上从-∞变化到变化到+∞时，时，z平面上相角将转无穷多圈平面上相角将转无穷多圈 表表4-2 角频率角频率 与与z平面相角平面相角θ关系关系…0……0…4s平面和平面和z平面的具体映射关系平面的具体映射关系3. s平面上的主带与旁带平面上的主带与旁带 主带主带 （（ 任意变化）任意变化） s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为平面上被分成了许多平行带子，其宽度为图图4-2 主带映射主带映射 图图4-3旁带映射旁带映射 5s平面和平面和z平面的具体映射关系平面的具体映射关系4. s平面主带的映射平面主带的映射 图图4-5 s平面主带左半平面的映射平面主带左半平面的映射 图图4-6 s平面主带右半平面的映射平面主带右半平面的映射64.1.2 s平面上等值线在平面上等值线在z平面的映射平面的映射1. s平面实轴平行线（即等平面实轴平行线（即等频率线）的映射频率线）的映射2. s平面虚轴平行线（即等平面虚轴平行线（即等衰减率线）的映射衰减率线）的映射图图4-7 等频率线的映射等频率线的映射图图4-8 等衰减率线的映射等衰减率线的映射74.1.2 s平面上等值线在平面上等值线在z平面的映射平面的映射3. s平面上等阻尼比轨迹的映射平面上等阻尼比轨迹的映射 Matlab命令命令映射至映射至z平面平面 相关公式相关公式图图 4-9 阻尼比线及其映射阻尼比线及其映射84.1.2 s平面上等值线在平面上等值线在z平面的映射平面的映射4. s平面上等自然频率轨迹的映射平面上等自然频率轨迹的映射 所以所以 s平面平面 z平面平面 图图4-10 等自然频率轨迹映射等自然频率轨迹映射 9104.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例114.2.1 离散系统的稳定条件离散系统的稳定条件•连续系统稳定的充要条件连续系统稳定的充要条件: –特征根全部位于特征根全部位于s s域左半平面域左半平面•离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件: –特征根全部位于特征根全部位于z平面单位圆中平面单位圆中124.2.2 稳定性的检测稳定性的检测1. 直接求取特征方程根直接求取特征方程根–缺点是难于分析系统参数的影响缺点是难于分析系统参数的影响 Matlab命令命令c=[1 -1.2 0.07 0.3 -0.08];r=roots(c)r = -0.5000 0.8000 0.5000 0.4000系统稳定系统稳定 例例4-2 已知已知 例例 4-3 已知已知 F = [-1.3 -0.4 1 0 ];g=eig(F)Matlab命令命令g = -0.8000 -0.5000系统稳定系统稳定 132. 朱利代数稳定判据朱利代数稳定判据—））—））—））—））系统稳定系统稳定条件条件14系统稳定必要条件系统稳定必要条件判断系统稳定性步骤：判断系统稳定性步骤：(1)判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定。

判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定2)若必要条件成立，构造朱利表若必要条件成立，构造朱利表或者或者15二阶系统稳定性条件二阶系统稳定性条件必要条件：必要条件：构造朱利表：构造朱利表：充分必要条件：充分必要条件：164.2.3 采样周期与系统稳定性采样周期与系统稳定性例例4-5 已知一采样系统的开环传递函数已知一采样系统的开环传递函数 采样周期是采样系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程采样周期是采样系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响系统的特征方程系统的特征方程 讨论采样周期对系讨论采样周期对系统稳定性的影响统稳定性的影响 解：系统稳定要求特征根位于单位圆内解：系统稳定要求特征根位于单位圆内 结论：结论：当采样周期当采样周期T ，，使系统稳定的使系统稳定的k值范围增大值范围增大当当k=2时，采样周期必须时，采样周期必须小于小于0.109 86，，系统才能稳定系统才能稳定 17采样周期与系统稳定性结论：采样周期与系统稳定性结论： (1) 离散系统的稳定性比连续系统差离散系统的稳定性比连续系统差 体现在使系统稳定的体现在使系统稳定的k值：值：连续系统的连续系统的k值范围大于离散系统的值范围大于离散系统的k值范围。

值范围2) 采样周期也是影响稳定性的重要参数，采样周期也是影响稳定性的重要参数，一般来说，一般来说，T减小，系统稳定性增强减小，系统稳定性增强 184.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例194.3.1 离散系统稳态误差定义离散系统稳态误差定义单位反馈系统误差定义单位反馈系统误差定义 连续系统：连续系统：离散系统：离散系统：204.3.2 离散系统稳态误差的计算离散系统稳态误差的计算•给定给定R(z)情况下的离散系统稳态误差的计算：情况下的离散系统稳态误差的计算：与输入信号与输入信号R(z)及系统及系统 结构特性均有关结构特性均有关 21划分系统划分系统 •连续系统连续系统——按其开环传函中所含的积分环按其开环传函中所含的积分环节的个数节的个数 来划分来划分——0型型——I型型——II型型•离散系统离散系统——按其开环传函中所含按其开环传函中所含 的的环节的个数环节的个数 来划分来划分22称为稳态位置误差系数称为稳态位置误差系数 对对“0”“0”型系统，型系统， 在在z=1z=1处无极点处无极点, ,K Kp p为有限值为有限值 对对“I”“I”型系统，型系统， 在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点, ,1. 指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算 若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有的条件是系统前向通道中至少含有1 1个积分环节。

个积分环节1) (1) 输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数23称为稳态速度误差系数称为稳态速度误差系数 对对“0”“0”型系统，型系统， 在在z=1z=1处无极点处无极点, ,对对“I”“I”型系统，型系统， 在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点, ,1. 1. 指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算对对“II”“II”型系统，型系统， 在在z=1z=1处有处有2 2个极点个极点, ,(2) 输入信号为单位斜坡信号输入信号为单位斜坡信号24称为稳态加速度误差系数称为稳态加速度误差系数 对对“0”“0”型系统，型系统， 在在z=1z=1处无极点处无极点, ,对对“I”“I”型系统，型系统， 在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点, ,对对“II”“II”型系统，型系统， 在在z=1z=1处有处有2 2个极点个极点, ,1. 1. 指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算指令信号作用下的稳态误差计算(3) 输入信号为单位加速度信号输入信号为单位加速度信号25误差系数误差系数连续系统连续系统离散系统离散系统0型系统型系统I型系统型系统0II型系统型系统00离散系统稳态误差离散系统稳态误差 离散及连续系统稳态误差系数离散及连续系统稳态误差系数26关于稳态误差的说明关于稳态误差的说明（（1）计算稳态误差前提条件是系统稳定。

计算稳态误差前提条件是系统稳定2）稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它）稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表明该系统不能跟踪所输入的信号只表明该系统不能跟踪所输入的信号3）上面讨论的稳态误差只是系统原理性误差，）上面讨论的稳态误差只是系统原理性误差，只与系统结构和外部输入有关，与元器件精度无只与系统结构和外部输入有关，与元器件精度无关272. 干扰作用下的离散系统稳态误差干扰作用下的离散系统稳态误差•系统中的干扰是一种非有用信号，由它引起的输系统中的干扰是一种非有用信号，由它引起的输出完全是系统的误差出完全是系统的误差误差完全由干扰误差完全由干扰n(t)引起，此时有引起，此时有据终值定理，可求出系统在干扰作用下采样时刻的稳态误差据终值定理，可求出系统在干扰作用下采样时刻的稳态误差 284.3.3 采样周期对稳态误差的影响采样周期对稳态误差的影响•对对具有零阶保持器具有零阶保持器的采样系统而言，稳态误差的计算与的采样系统而言，稳态误差的计算与T T无关，只与系统的类型、输入信号的形式有关无关，只与系统的类型、输入信号的形式有关D/A本身就是一个本身就是一个ZOH 以下为针对不具有以下为针对不具有ZOH的采样系统的计算。

的采样系统的计算294.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例304.4.1 离散系统动态特性指标的提法离散系统动态特性指标的提法及限制条件及限制条件动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述 超调量超调量 上升时间上升时间 峰值时间峰值时间 调节时间调节时间 图图4-16 系统阶跃响应的采样系统阶跃响应的采样 图图4-15 系统阶跃响应特性系统阶跃响应特性314.4.2 极点与零点位置与时间响应的关系极点与零点位置与时间响应的关系1．极点位于实轴．极点位于实轴图图4-17 z平面极点分布与脉冲响应（实极点）平面极点分布与脉冲响应（实极点）32例例4-7 已知数字滤波器已知数字滤波器稳态值为稳态值为A A振幅为振幅为 的等幅振荡脉冲的等幅振荡脉冲 单调收敛，很快衰减为单调收敛，很快衰减为0 0 332．极点为复根．极点为复根振荡频率：振荡频率： 振荡幅值与振荡幅值与 有关有关 34复极点位置与系统响应之间关系复极点位置与系统响应之间关系Pi=0=0，脉冲响应时间，脉冲响应时间最短，延时一拍最短，延时一拍图图4-17 z平面极点分布与脉冲响应（复极点）平面极点分布与脉冲响应（复极点）35例例例例4-84-8：试分析：试分析：试分析：试分析z z平面上平面上平面上平面上4 4对共轭复数极点对应的脉冲响应对共轭复数极点对应的脉冲响应对共轭复数极点对应的脉冲响应对共轭复数极点对应的脉冲响应364.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例374.5.1 频域系统稳定性分析频域系统稳定性分析乃奎斯特稳定判据：乃奎斯特稳定判据：(1) 确定确定 的不稳定的极点数的不稳定的极点数p；；(2) 以以 代入，在代入，在 范围内，画开环范围内，画开环频率特性频率特性 ；；(3) 计算该曲线顺时针方向包围计算该曲线顺时针方向包围z = –1的数目的数目n；；(4) 计算计算z = p – n；当且仅当；当且仅当z = 0时，闭环系统稳定。

时，闭环系统稳定 注意：注意：z平面的不稳定域是单位圆外部平面的不稳定域是单位圆外部 离散系统特征方程离散系统特征方程 38乃奎斯特稳定判据的实例说明乃奎斯特稳定判据的实例说明 例例4-9 某单位反馈离散系统开环传递函数某单位反馈离散系统开环传递函数 采样周期采样周期 ，试绘制它的幅相特，试绘制它的幅相特性曲线，并分析闭环系统的稳定性性曲线，并分析闭环系统的稳定性解：该开环系统稳定，所以不稳定的极点数解：该开环系统稳定，所以不稳定的极点数p = 0 幅相特性曲线幅相特性曲线 当当k=0.198时，频率特性不包围时，频率特性不包围z=–1点，点，n=0，所以，所以 z=0，故此时闭环系统稳定；，故此时闭环系统稳定； 当当 k=1时，频率特性包围时，频率特性包围z=–1点一次，点一次，n=1，所以，所以 z=–1，此时闭环系统不稳定；，此时闭环系统不稳定； 当当k= 0.7584，频率特性穿越，频率特性穿越z= –1点，此点，此时闭环系统为临界稳定时闭环系统为临界稳定394.5.2相对稳定性的检验相对稳定性的检验•为了检验系统在达到不稳定之前，允许提高多少增益和允许增加多少为了检验系统在达到不稳定之前，允许提高多少增益和允许增加多少额外的相位滞后，离散时间系统引进幅值裕度和相位裕度的相对稳定额外的相位滞后，离散时间系统引进幅值裕度和相位裕度的相对稳定性的概念（定义与连续系统相同）性的概念（定义与连续系统相同）•利用相对稳定性两个指标，可以间接判断和检测闭环系统的动态特性，利用相对稳定性两个指标，可以间接判断和检测闭环系统的动态特性，如系统快速性及振荡性等。

如系统快速性及振荡性等 相位裕度相位裕度增益裕度增益裕度Matlab命令命令w=logspace(-1,3);zG=[0.198 0.198]; pG=[1 -1.242 0.242];dbode(zG,pG,0.1,w)gridk= 0. 198截止频率截止频率 404.1 s平面和平面和z平面之间的映射平面之间的映射4.2 稳定性分析稳定性分析 4.3 稳态误差分析稳态误差分析4.4 时域特性分析时域特性分析4.5 频域特性分析频域特性分析4.6 应用实例应用实例414.6 应用实例应用实例天线计算机控制系统结构图如图天线计算机控制系统结构图如图3-26所示•试求该系统使系统稳定的参数试求该系统使系统稳定的参数D(z)=kd的范围；的范围；•试确定该系统的静态误差系数以及常值干扰试确定该系统的静态误差系数以及常值干扰Un(s) 时的稳时的稳态误差；态误差；•试确定当试确定当T=0.02s、、kd =10时系统的稳定裕度；时系统的稳定裕度；•计算计算T=0.02s、、kd =10时时 闭环系统的单位阶跃曲线，闭环系统的单位阶跃曲线，并求系统的主要动态响应指标并求系统的主要动态响应指标。

解解 (1) 系统传递函数系统传递函数42(2) (2) 判断稳定性判断稳定性判断稳定性判断稳定性 整理，得到整理，得到根据根据43．若改变采样周期．若改变采样周期T，， 考查极限放大系数考查极限放大系数kd 的变化的变化 T= 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5100.8 51.621.811.96 7.285.17结论：随着采样周期的增大，结论：随着采样周期的增大，保证系统稳定的极限放大系数减小保证系统稳定的极限放大系数减小 44(3)(3)稳态特性分析稳态特性分析稳态特性分析稳态特性分析 •该系统为该系统为I型系统，位置误差系数型系统，位置误差系数 速度误差系数速度误差系数•由于干扰由于干扰 所引起的输出均为误差所引起的输出均为误差 T=0.02s、、kd =10时时 稳态误差：稳态误差： 45(4)(4)稳定裕度的计算稳定裕度的计算稳定裕度的计算稳定裕度的计算 开环传递函数开环传递函数 Matlab命令命令num=[0.0374 0.0351];den=[1 -1.8187 0.8187];w=logspace(-1,3);dbode(num,den,0.02,w)grid 截止频率截止频率相位裕度相位裕度增益裕度增益裕度图图4-21 Bode图及稳定裕度图及稳定裕度46(5)(5)动态响应计算动态响应计算动态响应计算动态响应计算 图图4-22 单位阶跃响应单位阶跃响应超调量超调量调节时间调节时间峰值时间峰值时间47第4章 内容结束！ 48。