现代控制理论基础上机之一答案.pdf

1 现代控制理论基础上机实验一亚微米超精密车床振动控制系统的状态空间法设计一工程背景介绍超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素 为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件， 并取得了一定的效果， 但是这属于被动隔振， 这类隔振系统的固有频率一般在2Hz 左右这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计，这就是本次上机实验的工程背景二实验目的通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：1. 控制系统机理建模；2. 时域性能指标与极点配置的关系；3. 状态反馈控制律设计；4. MATLAB 语言的应用四个知识点三工程背景的物理描述2 上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器上图表示一个单自由度振动系统， 空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统； 主动隔振系统具有高通滤波特性， 其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。

主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动床身质量的运动方程为：pa0msFF（1）pF 空气弹簧所产生的被动控制力；aF 作动器所产生的主动控制力假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：p0rrree1 /() nFcyk ypVVA yA（2）rV 标准压力下的空气弹簧体积；0yss相对位移（被控制量） ；rp空气弹簧的参考压力；rA参考压力下单一弹簧的面积；er4AA参考压力下空气弹簧的总面积；n绝热系数电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性由于系统工作在微振动状况， 且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：aeaFk I（3）ek力 -电流转换系数；aI电枢电流其中，电枢电流aI满足微分方程：aaa(, )( )LIRIE Iyu t（4）L控制回路电枢电感系数；R控制回路电枢电阻；E控制回路反电动势；u控制电压四闭环系统的性能指标3 闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%，过渡过程时间不大于0.5 秒（0.02） 五车床振动系统的开环状态空间模型首先假定0s为常数，将式0yss两边求关于时间的二阶导数可得：pa1ysFFm0rrreeea11 /() ncyk ypVVA yAk Im（5）记为0ea1ycyk yk Im（6）其中rrree1 /() npVVA yA。

式（6）两边求导数得：0ea1ycyk yk Im（7）由式（ 6）可得：0aemycyk yIk（8）由式（ 7）可得：0aemycyk yIk（9）将式（ 8）和（ 9）代入式（ 4）可得：00aee(, )( )mycyk ymycyk yLRE Iyu tkk00eae(, )( )LmyLcRm yLkRc yRk yLRk E Iyk u t将非线性项ea(, )LRk E Iy视为干扰信号， 略去不计，可得线性化模型：00e( )LmyLcRm yLkRc yRk yk u t（10）令状态变量为：1xy，2xy，3xy4 可得状态方程122300e3123xxxxRkLkRckLcRmxxxxuLmLmLmLm开环系统的状态空间表达式为：112200e3312301000010100 xxxxuRkLkRckLcRmxxLmLmLmLmxyxx（11）六状态反馈控制律的设计根据性能指标21p100%5%e，解得0.69，046.36；根据性能指标s40.5nt，解得8n为留出一定的余量，取045，10n取闭环主导极点1s、2s的位置如下图所示5 即11010sj，21010sj。

第三个极点取为380s于是，期望闭环特征多项式为1231010101080sssssssjsjs22020080sss32100180016000sss（12）设状态反馈控制律为：112323xukkkxx（13）则闭环系统的状态空间表达式为：11220e 10e2e333123010001100 xxxxRkk kLkRck kLcRmk kxxLmLmLmxyxx（14）其特征多项式为32e30e20e1LcRmk kLkRck kRkk ksssLmLmLm（15）比较式（ 12）与式（ 14）得关于1k、2k、3k的代数方程组：e30e20e1100180016000LcRmk kLmLkRck kLmRkk kLm（16）求解得：6 3e02e01e100180016000LmLcRmkkLmLkRckkLmRkkk状态反馈控制律为00123eee160001800100LmRkLmLkRcLmLcRmuxxxkkk（17）七闭环系统的数字仿真1. 闭环系统的单位阶跃响应仿真首先求取闭环传递函数，为此将状态反馈控制律写成112323xukkkxrx其中r表示参考输入信号则闭环状态空间表达式为11220e10e2e3e3312301000010100 xxxxrRkk kLkRck kLcRmk kkxxLmLmLmLmxyxx即7 1122e3312301000010160001800100100 xxxxrkxxLmxyxx闭环传递函数为( )( )( )Y ssR s1e100100010160001800100ssskLme32100180016000kLmsss假设某一亚微米超精密车床隔振系统的各个参数为01200N/mk，980N/Aek，kg120m，2.0c，300R，H95.0L。

状态反馈控制律为1231493.9208.225.1uxxx则闭环传递函数为328.596( )100180016000ssss将此系统等效为单位负反馈系统，设其开环传递函数为( )G s，则32( )8.596( )1( )100180016000G ssG ssss解得开环传递函数为8 328.596( )100180016008.596G ssss显然这是一个 0 型系统，编写 MATLAB 程序：Fai=tf(-8.596,1,100,1800,16000); step(Fai); 仿真结果如下：00.10.20.30.40.50.6-6-4-20 x 10-4Step ResponseTime (sec)Amplitude从仿真结果可见虽然存在几乎等于1 的稳态误差，但是其动态过程已满足设计要求2. 闭环系统的全状态响应仿真假设存在某一初始振动状态51(0)6 10 mx，52(0)2 10 m/sx，523(0)0.8 10 m/sx根据闭环状态方程112233010001160001800100 xxxxxx编写 MATLAB 程序：第一个文件 simu046.m function dx=simu046(t,x) A=0,1,0; 0,0,1; -16000,-1800,-100; dx=A*x; 9 第二个文件 do_simu046.m t,x=ode45(simu046,0,1,6*10-5,2*10-5,-0.8*10-5); subplot(3,1,1); plot(t,x(:,1),r-); legend(x_1); grid; subplot(3,1,2); plot(t,x(:,2),b-); legend(x_2); grid; subplot(3,1,3); plot(t,x(:,3),k-); legend(x_3); grid; 在 MATLAB 的工作空间中运行第二个文件可得：00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-202468x 10-500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-202x 10-400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-2024x 10-3x1x2x3从上述第一个图可见振动抑制效果很理想，已满足设计指标。