小学奥数：格点型面积(毕克定理).docx

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上， 先画出一些水平直线和一些竖直直线， 并使任意两条相邻的平行线的距离都相等 ( 通常规定是 1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积， 请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：SNL1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，L1 ．则它的面积为 S N2【例 1】 用 9 个钉子钉成相互间隔为1 厘米的正方阵 ( 如右图 ) ．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2 平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图， 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？【例⑴4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑵⑶⑷⑴⑵⑶⑷⑸⑹【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大4倍． )【例 5】 如图 ( a) ，计算这个格点多边形的面积．III III(a) (b) (c)【例 6】 ( “新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题 ) 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．D AF1cmCE B1cm【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑴ ⑵ ⑶ ⑷【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】 右图是一个 8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的面积．HGFA ECBD【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】 ( “小学数学奥林匹克”竞赛试题 ) 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选 7 个格点，要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上，并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．【例 12】 ( “保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题 ) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21日开幕， 下面的图形中， 每一个小方格的面积是 1，那么 7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】( 第六届“从小爱数学” 邀请赛试题 ) 两个边长相等的正方形各被分成25 个大小相同的小方格． 现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分( 块状 ) 面积为 5.12cm2 ，右下角的阴影部分 ( 线状 ) 面积为 7.4cm2 ，求大正方形的面积．【例 14】 ( 第六届“华杯赛”试题 ) 图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54， AP=2PF ， CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的面积．APFAPFBEBECDCD板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积， N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有S2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2 倍与周界上格点数的和减去 2．【例 15】如图 ( a) ，有 21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．AAECFDCBB(b)(a)【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算 V ABC 的面积．ACB【例 16】 求下列格点多边形的面积 ( 每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形 ) ．⑴ ⑵ ⑶ ⑷【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5 等分、 7 等分(如图1，图2) ，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1 中阴影部分面积是294 平方分米，那么图2 中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米， 问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】( 第五届“华杯赛”试题) 正六边形 ABCDEF 的面积是6平方厘米． M是AB中点，N是 CD中点， P 是 EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？AFAQFMPMPBEBERSCDCNDN【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2 平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。