北师大版数学必修四：第一章三角函数章节归纳梳理ppt课件.ppt

北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 1.1.对任意角概念的理解对任意角概念的理解(1)(1)角的分类：角的分类：任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角. .任意角和弧度制任意角和弧度制(2)(2)象限角和终边相同的角象限角和终边相同的角正确理解象限角、锐角、钝角、小于正确理解象限角、锐角、钝角、小于9090°°的角等概念，注意的角等概念，注意各自特点，会根据其终边位置表示这些角各自特点，会根据其终边位置表示这些角. .(3)(3)理解弧度的概念，正确利用理解弧度的概念，正确利用π rad=180π rad=180°°进行度与弧度的进行度与弧度的互化互化. .2.2.弧长公式、扇形面积公式弧长公式、扇形面积公式记准弧度数计算公式记准弧度数计算公式 和扇形面积公式和扇形面积公式 ，，很容易推出弧长公式很容易推出弧长公式l=|α|r=|α|r和扇形面积公式和扇形面积公式 . . 在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用不可混用. .【【例例1 1】】(1)(1)把把 表示成表示成2kπ+θ(k∈Z)2kπ+θ(k∈Z)的形式，使的形式，使|θ||θ|最最小的小的θθ值是值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)(2)(2)已知角已知角αα的终边与角的终边与角-330-330°°的终边关于原点对称，则其中的终边关于原点对称，则其中绝对值最小的角绝对值最小的角αα是是_______._______.【【审题指导审题指导】】(1)(1)解答的关键是判断出解答的关键是判断出θθ与与 终边相同终边相同. .(2)(2)若角若角αα，，ββ的终边关于原点对称则其终边互为反向延长的终边关于原点对称则其终边互为反向延长线，因此线，因此α+180α+180°°与角与角ββ终边相同终边相同. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选A.A.由已知得由已知得θθ与与 终边相同终边相同所以所以 (k∈Z)(k∈Z)当当k=0k=0时时θ= θ= ；当；当k=1k=1时时θ=θ=当当k=2k=2时时θ=θ=∴∴使使|θ||θ|最小的最小的θθ值是值是(2)∵(2)∵角角αα的终边与角的终边与角-330-330°°的终边关于原点对称的终边关于原点对称且且-330-330°°+180+180°°=-150=-150°°∴∴角角αα的终边与角的终边与角-150-150°°的终边相同的终边相同∴∴α=kα=k××360360°°-150-150°°,k∈Z,k∈Z当当k=0k=0时时α=-150α=-150°°；当；当k=1k=1时时α=210α=210°°∴∴绝对值最小的角绝对值最小的角αα是是-150-150°°答案：答案：-150-150°°【【例例2 2】】已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为 ，它所对的弦长等于，它所对的弦长等于2 2，求，求扇形的弧长和扇形的面积扇形的弧长和扇形的面积. .【【审题指导审题指导】】解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇形的半径长形的半径长. .【【规范解答规范解答】】∵∵扇形的圆心角扇形的圆心角|θ|=|θ|=∴∴扇形半径和弦构成等边三角形扇形半径和弦构成等边三角形∴∴扇形的半径扇形的半径r=2∴r=2∴扇形的弧长扇形的弧长l= =∴∴扇形的面积扇形的面积 . .1.1.对任意角的三角函数概念的理解对任意角的三角函数概念的理解(1)(1)任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定. .(2)(2)了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义. .(3)(3)根据三角函数的定义推出并熟记以下知识根据三角函数的定义推出并熟记以下知识三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角的三角函数值的三角函数值. .任意角的三角函数的概念任意角的三角函数的概念【【例例3 3】】(2011(2011··福建高考改编福建高考改编) )设函数设函数 , ,其其中，角中，角θθ的顶点与坐标原点重合，始边与的顶点与坐标原点重合，始边与x x轴非负半轴重合，轴非负半轴重合，终边经过点终边经过点P(x,y)P(x,y)且且0≤θ≤π,0≤θ≤π,若点若点P P的坐标为的坐标为 求求f(θ)f(θ)的值的值. .【【审题指导审题指导】】根据任意角的三角函数的定义根据任意角的三角函数的定义, ,只要求出角只要求出角θθ终终边与单位圆交点的坐标边与单位圆交点的坐标, ,就可以求出就可以求出sinθ,cosθ.sinθ,cosθ.【【规范解答规范解答】】由点由点P P的坐标和三角函数的定义可得的坐标和三角函数的定义可得于是于是 . . 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解和应用和应用(1)(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数的定义理解的定义理解. .(2)(2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限记忆方法：奇变偶不变，符号看象限正弦、余弦、正切函数的诱导公式正弦、余弦、正切函数的诱导公式(3)(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0 0°°～～9090°°的的角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化. .因此在应用诱导因此在应用诱导公式时，要根据题目的要求恰当选择公式公式时，要根据题目的要求恰当选择公式. . 诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位置的确定错误而导致符号错误，要特别注意置的确定错误而导致符号错误，要特别注意. .【【例例4 4】】设设 ，，若若 ，求，求f(α)f(α)的值；的值；【【审题指导审题指导】】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的方法化简求值方法化简求值. .【【规范解答规范解答】】若若 ，，则则 对三角函数的图像的几点认识对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上, ,进一进一步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，主要包括以下内容主要包括以下内容. .三角函数的图像三角函数的图像(1)(1)描点法描点法. .用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像特征特征. .(2)(2)利用性质画简图利用性质画简图, ,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线画简图画简图. .如如““五点法五点法”“”“三点二线法三点二线法””等等. .(3)(3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系，图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系，用平移、伸缩、对称变换画图用平移、伸缩、对称变换画图. . 图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注意平移方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移意平移方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移量量. .【【例例5 5】】已知函数已知函数 (1)(1)利用利用““五点法五点法””画出函数画出函数y=f(x)y=f(x)在长度为一个周期的闭区在长度为一个周期的闭区间的简图；间的简图；( (要求列出表格要求列出表格) )(2)(2)说明函数说明函数y=f(x)y=f(x)的图像可由函数的图像可由函数y=sinx(x∈R)y=sinx(x∈R)的图像经过的图像经过怎样平移和伸缩变换得到的．怎样平移和伸缩变换得到的．【【审题指导审题指导】】(1)(1)五点法画函数图像的关键是五点法画函数图像的关键是 整体取整体取0, ,π, ,2π.0, ,π, ,2π.(2)(2)平移变换要遵循平移变换要遵循““左加右减，上加下减左加右减，上加下减””，伸缩变换要依，伸缩变换要依据周期变换和振幅变换确定据周期变换和振幅变换确定. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)先列表，后描点并画图．先列表，后描点并画图．(2)(2)方法一：把方法一：把y=sinxy=sinx的图像上所有的点向左平移的图像上所有的点向左平移 个单位长个单位长度，得到度，得到 的图像，再把所得图像的横坐标伸长到的图像，再把所得图像的横坐标伸长到原来的原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )，得到，得到 的图像的图像. .方法二：把方法二：把y=sinxy=sinx的图像横坐标伸长到原来的的图像横坐标伸长到原来的2 2倍倍( (纵坐标不纵坐标不变变) )，得到，得到 的图像．再把所得图像上所有的点向左平的图像．再把所得图像上所有的点向左平移移 个单位长度，得到个单位长度，得到 ，即，即 的图的图像．像．1.1.求定义域的方法求定义域的方法求定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的一般方法为求定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的一般方法为图像法和三角函数线法图像法和三角函数线法三角函数的性质三角函数的性质2.2.求三角函数的单调区间求三角函数的单调区间求求 的单调区间时，首先要看的单调区间时，首先要看A A，，ωω是否为是否为正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将 看作看作一个整体，比如若一个整体，比如若A>0A>0，，ω>0ω>0，由，由 (k∈Z)(k∈Z)解出解出x x的范围即为递增区间的范围即为递增区间. .3.3.求值域或最大求值域或最大( (小小) )值值常用的方法是换元法、图像法、单调性法常用的方法是换元法、图像法、单调性法. .4.4.判断奇偶性判断奇偶性一般来说，形如一般来说，形如y=Asin ωxy=Asin ωx的函数是奇函数，形如的函数是奇函数，形如y= y= Acos ωxAcos ωx的函数是偶函数的函数是偶函数. .【【例例6 6】】设函数设函数 (1)y=f(x)(1)y=f(x)图像的一条对称轴是直线图像的一条对称轴是直线 , ,求求 (2)y=f(x)(2)y=f(x)为偶函数，求为偶函数，求(3)(3)若若 试证明试证明y=f(x)y=f(x)为奇函数为奇函数. .【【审题指导审题指导】】解答本题可以依据下列信息解答本题可以依据下列信息(1)(1)对称轴处取最大对称轴处取最大( (或小或小) )值值.(2).(2)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称. .(3)(3)证明证明y=f(x)y=f(x)为奇函数要证为奇函数要证f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)【【规范解答规范解答】】(1)(1)因为因为 是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一条对称轴，则的一条对称轴，则当当 时，时，y y取最大取最大( (或小或小) )值，值，所以所以 , ,所以所以 (k∈Z).(k∈Z).(2)(2)由于由于y=f(x)y=f(x)为偶函数，为偶函数，所以所以y=f(x)y=f(x)的图像关于的图像关于y y轴对称，轴对称，所以所以sin(2sin(2××0+ )=0+ )=±±1,1,则则 (k∈Z).(k∈Z).又又-π< <0-π< <0，所以，所以 . .(3)(3)因为因为y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为R R，即定义域关于原点对称，即定义域关于原点对称当当 =kπ,(k∈Z)=kπ,(k∈Z)时时f(x)=sin(2x+kπ)=f(x)=sin(2x+kπ)=又又f(-x)=f(-x)== =-f(x)= =-f(x)所以所以y=f(x)y=f(x)为奇函数为奇函数. .【【例例7 7】】求函数求函数 的递减区间的递减区间. .【【审题指导审题指导】】解答本题应先将解答本题应先将 化为化为 ，根据函数，根据函数y=sinuy=sinu的递增区间求出原函数的的递增区间求出原函数的递减区间递减区间. .【【规范解答规范解答】】因为函数因为函数y=sinuy=sinu的递增区间是的递增区间是 (k∈Z)(k∈Z)由由 (k∈Z),(k∈Z),得得 (k∈Z),(k∈Z),所以，函数所以，函数 的递减区间是的递减区间是 (k∈Z)(k∈Z)1.1.为了得到函数为了得到函数 (x∈R)(x∈R)的图像，只需把函数的图像，只需把函数y=2sinx,(x∈R)y=2sinx,(x∈R)的图像上所有的点的图像上所有的点( )( )(A)(A)向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的来的 倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )(B)(B)向右平移向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的来的3 3倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )(C)(C)横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的3 3倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )，再把所得各点向，再把所得各点向左平移左平移 个单位长度个单位长度(D)(D)横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的3 3倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )，再把所得各点向，再把所得各点向左平移左平移 个单位长度个单位长度【【解析解析】】选选D.y=2sinx,x∈RD.y=2sinx,x∈R的图像上所有的点横坐标伸长到的图像上所有的点横坐标伸长到原来的原来的3 3倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )，得，得 再把所得各点向左平再把所得各点向左平移移 个单位长度得个单位长度得2.(20112.(2011··天津高考天津高考) )已知函数已知函数 x∈Rx∈R，其，其中中ωω＞＞0 0，， 若若f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为6π,6π,且当且当 时，时，f(x)f(x)取得最大值，则取得最大值，则( )( )(A)f(x)(A)f(x)在区间［在区间［-2π,0-2π,0］上是增函数］上是增函数(B)f(x)(B)f(x)在区间［在区间［-3π,-π-3π,-π］上是增函数］上是增函数(C)f(x)(C)f(x)在区间［在区间［3π,5π3π,5π］上是减函数］上是减函数(D)f(x)(D)f(x)在区间［在区间［4π,6π4π,6π］上是减函数］上是减函数【【解析解析】】选选A.A.由题意得由题意得, , ,k∈Z ,k∈Z又又-π-π＜＜ ≤ ≤ππ，，∴ ∴∴ ∴由由 . .得得 ，，k∈Z.k∈Z.f(x)f(x)在区间在区间 k∈Zk∈Z上是增加的上是增加的又又 , ,故故A A正确正确. .3.3.已知扇形的周长为已知扇形的周长为 cm,cm,其半径为其半径为2 cm,2 cm,则该扇形的圆则该扇形的圆心角的弧度数为心角的弧度数为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【【解析解析】】选选B.∵B.∵扇形的周长为扇形的周长为 cm,cm,其半径为其半径为2 cm2 cm∴∴扇形的弧长扇形的弧长l= cm∴= cm∴扇形的圆心角扇形的圆心角4.(20114.(2011··江西高考江西高考) )已知角已知角θθ的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x x轴轴的正半轴，若的正半轴，若P(4,y)P(4,y)是角是角θθ终边上一点，且终边上一点，且sinθ= sinθ= ，，则则y=______.y=______.【【解析解析】】|OP|= |OP|= ，根据任意角三角函数的定义得，，根据任意角三角函数的定义得， ，，解得解得y=y=±±8,8,又又sinθ= sinθ= ＜＜0 0及及P(4,y)P(4,y)是角是角θθ终边上一点，终边上一点，可知可知θθ为第四象限角，为第四象限角，∴∴y=-8.y=-8.答案答案: :-8-85.5.函数函数 的定义域为的定义域为________.________.【【解析解析】】要使函数有意义必须有要使函数有意义必须有 ，即，即 ，，解得解得 (k∈Z)(k∈Z)，，∴ ∴ ，，k∈Zk∈Z，，∴∴函数的定义域为函数的定义域为答案：答案：6.(20116.(2011··扬州高一检测扬州高一检测) )求值：求值： =______.=______.【【解析解析】】答案：答案：7.7.求函数求函数 的最大值和最小值，并分别写出使这个的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时函数取得最大值和最小值时x x的值的值. .【【解析解析】】当当 取得最大值取得最大值1 1时，时， 取得最小值取得最小值1 1，此，此时时 (k∈Z),(k∈Z),即即x=6kπ(k∈Z).x=6kπ(k∈Z).当当 取得最小值取得最小值-1-1时，时， 取得最大值取得最大值3 3，此时，此时 (k∈Z),(k∈Z),即即x=3π+6kπ(k∈Z).x=3π+6kπ(k∈Z).8.8.已知函数已知函数 的一段图像如图的一段图像如图所示所示(1)(1)求此函数的解析式；求此函数的解析式；(2)(2)求此函数在求此函数在(-2π,2π)(-2π,2π)上的递增区间上的递增区间. .【【解析解析】】(1)(1)由图可知，其振幅为由图可知，其振幅为A= A= ，，由由 =6-(-2)=8,∴=6-(-2)=8,∴周期为周期为T=16T=16，，∴ ∴ ，此时解析式为，此时解析式为∵∵点点 在函数在函数 的图像上的图像上∴ ∴ ，，(k∈Z)(k∈Z)∴ ∴ ，，(k∈Z).(k∈Z).又又| |<π,∴ .| |<π,∴ .故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为(2)(2)因为函数因为函数y=sinuy=sinu的递增区间是的递增区间是 (k∈Z)(k∈Z)由由 (k∈Z),(k∈Z),得得16k+2≤x≤16k+10(k∈Z),16k+2≤x≤16k+10(k∈Z),所以，函数所以，函数 的递增区间是的递增区间是［［16k+2,16k+1016k+2,16k+10］］(k∈Z)(k∈Z)当当k=-1k=-1时，有［时，有［-14,-6-14,-6］，当］，当k=0k=0时，有［时，有［2,102,10］］与定义区间求交集得此函数在与定义区间求交集得此函数在(-2π,2π)(-2π,2π)上的递增区间为上的递增区间为(-2π,-6(-2π,-6］和［］和［2,2π).2,2π).。