三阶幻方的构造方法.doc

1 -三阶幻方的构造方法洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑．所谓洛书，指的是用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于 15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法．一 凑这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的．二 转第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的．987654321698357214492357816图一＂排＂ 图二 ＂转＂ 图三 ＂对换＂三 杨辉法 我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七．968357241168357249图四 九子排列 图五 上下对易168753249492357816图六 左右相更 图七 四维挺出四 罗伯法 ［1］中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的．- 2 -1 居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八．294753618784951623934159672图八 图九 图十 巴舍法先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十．五 行列交会法首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂的法则确定．作出的结果如图十三．98765432168524图十一 图十二 618753294986654321xxxxxxxxx图十三 图十四 六 数学解法 设图十四构成三阶幻方，列出方程组)8.(..........15)7..(..........15)6..(..........15)5..(..........15)4..(..........15)3..(..........15)2..(..........15) 1...(..........15753951063852741987654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+知得53x453305 x55x- 3 -由(1)+(2)得代入5.....21551542xxxxx得)9.....(220142xxx若 则矛盾 所以11x1842xx11x若则则只有或只考虑其中一种 以代入31x1442xx8, 642xx或6842xx或6, 321xx得 矛盾 所以63x, 31x令 代入（9）得 则只有 或 不妨取21x1642xx9, 742xx或7, 942xx或.7, 942xx则以4) 19, 2321xxx得代入（以6)47, 2321xxx得代入（以8)75, 2951xxx得代入（以1)55, 9852xxx得代入（以3) 15, 7654xxx得代入（从而得到三阶幻方的解．七 奇偶分析法在＂六＂中得到以后，将其代入(2),(5),(7),(8)得到：55x  )13.........(10)12.........(10)11.........(10)10.........(1073918264xxxxxxxx由以上四个方程可以看出的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍73918264,,,xxxxxxxx与与与与然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的．今断言，四个角上的数字不能是奇数，如果四个角上的数字是奇数，那么只能是偶数于是,,8264xxxx 矛盾．所以只能是偶数．由(12),(13)可知，而且只有15321奇＋偶＋奇 ＋xxx7391.,.xxxx 2+8,4+6,不妨取随后便可确定的值．6.4,8., 27391xxxx 则 取＝ 则＝,.,8264xxxx参考材料：［1］张君达 《小学数学奥林匹克数学专题讲座》 北京师范学院出版社 1987 年北京版 第 24 页 中师教育研究 1995 年第二期。