找规律及定义新运算(教师版).docx

第三章规律与表达板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 点4、4、、…、4 （〃为正整数）都在数轴上.点4在原点的左边，且40 = 1；点&在 点4的右边，且4A = 2；点儿在点4的左边，且= 3；点儿在点4的右边，且44 =4；……， 依照上述规律，点^（姬、4o09所表示的数分别为（c ）.A. 2008、 -2009 B. —2008、 2009 C. 1004、 -1005 D. 1004、 -1004il n5/ 8 , 11川0【巩固】一组按规律排列的式子：-丝，二，-二,二,…（"W0）,其中第7个式子是 -彳 ， a crcr aa第n个式子是—（-1）〃 --（〃为正整数）.an（2）（08陕西中考题）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，那么串7顶这样的帐篷需要17 + 6x11 = 83根钢管.【例2】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母4 3, C,请你按图中箭头所指方向（即 A fB fC —C -3 -A f3 -C —…的方式）从A开始数连续的正整数1, 2, 3, 4...,当 数到12时，对应的字母是 旦 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 100x6 + 3 = 603；当字母CM 2h+1次出现时（〃为正整数），恰好数到的数是—6"+ 3 —（用含〃的代数式表示）。

例3】）观察以下图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1 + 8 + 16 + 24 +...+ 8"（几是正整数）的结果为（A ）+8+16+24=?A. （2〃 + 1）2B. （2/z-l）2 C. 5 + 2）2 d. n2【例4】 观察以下由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看 得见，个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27 个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，那么第6个图中，看不见的小立方体有—125个.图2【例5】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如:13610图114916图2他们研究过图1中的1,3, 6,10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地, 称图2中的1,4, 9, 16,…，这样的数为正方形数.以下数中既是三角形数又是正方形数的是（DA. 15B. 25C. 55D. 1225【巩固】观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有8 次.1234246836912481216• • •• • •♦ • •• • •2008 = 1x2x2x2x251因数组合共有8次【例6】观察按以下规那么排成的一列数：1, 1,1,-1?-，…在式子中，从左起第加个数记为尸（根），当F （m）=时，求〃 z的值和这加个数的积.620012由题知：分子+分母-1决定为第几组，2+2001-1=2002,决定是在第2002组中；2001〃 =1 + 2 + 3 + 4 + ・・・ + 2001 + 1 = 2003001一一 121lxlxlxlx---xX=2002 2001 2003001【例7】观察下面的变形规律：1111 111 1=1 —，=，=...1x22 2x3 2 3 3x4 3 4解答下面的问题：⑴假设〃为正整数，请你猜测71 = 工——— ；+ n n + \⑵证明你猜测的结论；展开即可⑶求和：_L+_L+_L+...+!.1x2 2x3 3x42009x2010【例8】.观察下面的等式2x2=4, 2+2=4；3 o 13^1—x3 = 4—, —1-3 = 4一；22224)J4/J—x 4 = 5— 9 —f4 = 5一；33335u/5厂/—x5 = 6—, —f5 = 6一；4444小明归纳上面各式得到一个猜测：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜测正确吗？为什么？如果不正确，请你观察上面各式结构特点，归纳出一个猜测，并证明你的猜测.x (〃 +1) =+ (〃 +1)【巩固】：C：=*=3,=垩&@ = 10, C64 = 6x5x4x3 = ]5,…观察上面的计算过程,寻找规律并1x251x2x36 Ix2x3x4计算G/ =计算G/ =10x9x8x7x 6x5Ix2x3x4x5x6【例9】现有一列数4，a2, 。

3，…，%8，100，其中生=9, % = -7, %8 =-1，且满足任意相邻三 个数的和为常数，那么4 +3 +…+ %9 +卬00的值为()•A. 0 B. 40 C. 32 D. 26【例10】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前〃横行的数字和为4645101051 + 2 + 22 +23 +24 +--- + 2,2-1 =上1匕*=2〃-11 — 2【巩固】观察以下等式：F=[2,]3 + 23 =32 , 13 +23 +33 =62,13 +23 +33 +43 = 102 ,...,想一想 等式左边各个**累的底数与右边基的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算 『+23 +33 +43 +... + 1(X)3 的值.I3 +23 +33 +43 +--- + 1003 =(1 + 2 + 3 + 4 + ・.・ + 100)2(1 + 100)x100二 (101x50)2【巩固】如下图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0, 1, 2, 3.先让圆周上数字0 所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数 -2006将与圆周上的数字 重合.7-1-（-2006） = 20052005 + 4 = 501 …1，与数字3重合模块二、几何图形中的规律【例11］（1） （2009年抚顺市初中毕业生学业考试）观察以下图形（每幅图中最小的三角形都是一样的），请• •⑵ 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（C ）A. 25B. 66 C. 91 D. 120【例12］如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成,第〃（〃是正整数）个图案中由_3几+ 1第〃（〃是正整数）个图案中由_3几+ 1个基础图形组成.(1)⑶【巩固】用火柴棍像如图这样搭三角形:你能找出规律猜测出以下两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要 3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……⑴搭7个需要 15根火柴棍.⑵搭〃个三角形需要_2几+ 1根火柴棍.【巩固】假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：ooeeoeooeeo^ooeeoeooeeoe ……那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？答： 黑 .2007 + 6 = 334・・・3⑶ 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的外表涂成红色,第一层第二层 第三层从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为:第一层：侧面个数+上面个数= lx4 + l = 5 ；第二层：侧面个数+上面个数= 2x4 + 3 = 11；第三层：侧面个数+上面个数= 3x4 + 5 = 17 ；第四层：侧面个数+上面个数= 4x4 + 7 = 23；根据上述的计算方法，总结规律，并完成以下问题：① 求第6层有多少个面被涂成了红色？②求第〃层有多少个面被涂成了红色？(用含〃的式子表示)③ 假设第加层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由.【巩固】如以下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按 同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；⑴填表:剪的次数12345正方形个数47101316⑵ 如果剪了 100次，共剪出多少个正方形?⑶ 如果剪九次，共剪出多少个止方形？(4)观察图形，你还能得出什么规律？(2) 3x100 + 1=3013〃 + 1【例13］如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用 一个点）；第三层每边有三个点，.・・这个六边形点阵共有〃层，试问第〃层有多少个点？这个点阵共 有多少个点？677-6l + 6 + i2 + 18 + ... +（6n-6）= l+〔6 +（6n"T）版块二、定义新运算【例14】读一读：式子“1 + 2 + 3 + 4+5 +…+100”表示1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比100较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1 + 2+3 + 4+5 +・..+ 100”表示为这里“Z ”是求和符号.50例如：1 + 3 + 5 + 7+9 +・・・+99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表不为^（2/1 — 1）；10又如 13 +23 +33 +43 +53 +63 +73 +83 +93 + 103 可表示为.M=1通过对以上材料的阅读，请解答以下问题.（1）2 + 4 + 6 + 8 + 10 +.・・+100 （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为 50.n=\⑵计算之仅2_1）+（32—1）+（42—1）+（52_1）=50.（填写最后的计算〃=1结果）【巩固】定义：。

是不为1的有理数，我们把L 称为的差倒数.如：2的差倒数是一^ = -1, -1的差倒 1 — （11 — 2数是匚% = 3.q=一；‘ %是"的差倒数’％是4的差倒数’的是生的差倒数’…，依次类推，那么=4.31 _% = 一, % = 4, a4二—三个一循环~ 43【习题1】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，那么摆第6个图案需要_127 枚棋子，摆第〃枚棋子.个图案需要 6x3业+ 1 = 3〃2 +3/7 + 1 一 2【习题2】阅读以下材料：Ix2 = 1x(lx2x3-Oxlx2), 2x3 = 1x(2x3x4-lx2x3), 3x4 = gx(3x4x5 —2x3x4), 由以上三个等式相加，可得Ix2 + 2x3 + 3x4 = -x3x4x5 = 20o 3读完以上材料，请你计算以下各题: ⑴ Ix2 + 2x3 + 3x4 +…+ 10x11= 1(10xllxl2)= 440(2)lx2 + 2x3 + 3x4 + ... + n(n + l) = _—x 〃(〃 + 1)(〃 + 2)⑶ Ix2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 +…+ 7x8x9=。