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第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理工程流体力学1解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的相似原相似原理理，，模型实验方法模型实验方法以及以及量纲分析法量纲分析法 2第一节第一节 单位和量纲单位和量纲 物理量一般具有物理量一般具有单位单位，如直径，如直径d的单位可以的单位可以是是m，，cm，，mm等 量纲量纲/因次：因次：定义物理量量度的性质和类型为量纲定义物理量量度的性质和类型为量纲如直径表示一种长度，具有长度的量纲如直径表示一种长度，具有长度的量纲 单位单位——决定度量的数量；决定度量的数量；量纲量纲——表示度量的性质表示度量的性质 基本量纲：基本量纲：流体力学的基本量纲有，长度、质流体力学的基本量纲有，长度、质量和时间分别以量和时间分别以[L]、、[M]和和[T]表示与温度表示与温度有关时温度的量纲有关时温度的量纲[Θ] 导出量纲：导出量纲：其它参数的量纲由基本量纲组成，其它参数的量纲由基本量纲组成，称为导出量纲。

称为导出量纲 3量纲公式：量纲公式：dimx=当当时，为无量纲量无量纲量数值的大时，为无量纲量无量纲量数值的大小与所采用的单位制无关且可进行超越函数的计算小与所采用的单位制无关且可进行超越函数的计算对于动力粘度：对于动力粘度：dimμ =即即α＝－＝－1，，β＝－＝－1，，γ＝＝1二二 量纲和谐原理量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的因为只有相同类型的物理量才能相加减必须是一致的因为只有相同类型的物理量才能相加减否则无意义否则无意义 在量纲和谐的方程式中，其系数和常数也应该是无在量纲和谐的方程式中，其系数和常数也应该是无量纲的若为有量纲，则可进一步进行分析若为有量纲，则可进一步进行分析 4第二节第二节 相似性原理相似性原理 表征表征流动流动过程过程的物的物理量理量 描述几何形状的描述几何形状的如长度、面积、体积等如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的如质量力、表面力、动量等如质量力、表面力、动量等 按性按性质分质分几何几何几何几何相似相似相似相似运动运动运动运动相似相似相似相似动力动力动力动力相似相似相似相似流流动动相相似似应应满满足足的的条条件件5一一 几何相似几何相似熟悉的几何相似，如相似三角形。

熟悉的几何相似，如相似三角形相似不是两个数的简单的比较，而是相同类型的相似不是两个数的简单的比较，而是相同类型的数的比值相同，包括多组数的比数的比值相同，包括多组数的比几何相似指比较的对象具有相同的形状，但大小几何相似指比较的对象具有相同的形状，但大小不同规定：以下角标规定：以下角标m表示模型；表示模型；p表示原型表示原型l —— 相应部位的长度相应部位的长度 ——特征长度特征长度 θ θ —— 对应的夹角对应的夹角 6长度比率：长度比率：面积比率：面积比率：体积比率：体积比率：vpvm7二二 运动相似运动相似流场内各处速度的方向相同，大小成比例，流场流场内各处速度的方向相同，大小成比例，流场和流线相似和流线相似 速度比率：速度比率：—— 特征速度特征速度时间比率：时间比率：如流过相似长如流过相似长度所用的时间度所用的时间加速度比率：加速度比率：8体积流量比率：体积流量比率：或或三三 动力相似动力相似受到的同名力，方向相同，大小成比例受到的同名力，方向相同，大小成比例对于任一运动的质点，设想在该质点上的惯性力与质对于任一运动的质点，设想在该质点上的惯性力与质点所受到的各种作用力点所受到的各种作用力相平衡相平衡（或质点在除了惯性力（或质点在除了惯性力的其它作用力下运动），这些力构成一封闭的力多边的其它作用力下运动），这些力构成一封闭的力多边形。

从这个意义上说，动力相似表征为流体相应点上形从这个意义上说，动力相似表征为流体相应点上的力多边形相似相应边（即同名力）成比例的力多边形相似相应边（即同名力）成比例 9Fν —— 粘性力；粘性力； Fp —— 压力；压力；FG —— 重力；重力；FI —— 惯性力；惯性力； FE —— 弹性力；弹性力； Fσ —— 表面张力力表面张力力四四 定界条件相似定界条件相似初始条件与边界条件相似初始条件与边界条件相似对于稳定流动，不需要初始条件对于稳定流动，不需要初始条件可把边界条件相似归于几何相似可把边界条件相似归于几何相似 10第三节第三节 相似准则数相似准则数 一一 流动相似流动相似 两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比率要满足一定的约束关系，这种约束关系作用力的比率要满足一定的约束关系，这种约束关系称为称为相似准则相似准则 作用在流体质点上的力可分为两类：一类是企图维持作用在流体质点上的力可分为两类：一类是企图维持原有运动状态的力，如惯性力原有运动状态的力，如惯性力FI；另一类是企图改变；另一类是企图改变其运动状态的力，如重力其运动状态的力，如重力FG、粘性力、粘性力Fν、压力、压力Fp等。

等 流动的变化是这两类力相互作用的结果，即惯性力与流动的变化是这两类力相互作用的结果，即惯性力与其它各种作用力相互作用的结果故各种力之间的比其它各种作用力相互作用的结果故各种力之间的比率应以惯性力为一方来相互比较在两个相似的流动率应以惯性力为一方来相互比较在两个相似的流动中，这中比率关系应保持固定关系中，这中比率关系应保持固定关系 11惯性力：惯性力： 惯性力比率：惯性力比率： 密度比率密度比率 若有某一企图改变运动状态的力若有某一企图改变运动状态的力F，两个流动，两个流动相似，相似，F之比为之比为 据动力相似，据动力相似， 即即 或或 为无量纲数为无量纲数12定义：定义： —— 牛顿数牛顿数此式表明，两个流动相似，牛顿数此式表明，两个流动相似，牛顿数Ne应相等这是流动应相等这是流动相似的重要准则，称为相似的重要准则，称为牛顿相似准则牛顿相似准则 问题（问题（Q）：）：两个流动相似，要求各种企图改变其流动两个流动相似，要求各种企图改变其流动状态的力和惯性力都维持相同的比率实际上这很难做状态的力和惯性力都维持相同的比率实际上这很难做到解决（解决（R）：）：仅考虑某一起主导作用的力相似。

仅考虑某一起主导作用的力相似相似准则数相似准则数 13二二 相似准则数相似准则数 依据：原型与模型牛顿数依据：原型与模型牛顿数Ne相等相等 几种力的表达式：几种力的表达式： ①① 压力压力②② 重力重力 ③③ 粘性力粘性力 ④④ 弹性力弹性力Ev — 弹性模量，弹性模量，Pa ⑤⑤ 表面张力表面张力 14（（1）欧拉数（）欧拉数（Eu）） 若总压力起主导作用，则若总压力起主导作用，则F = Fp 作为分子作为分子代入牛代入牛顿数得顿数得 Eu 表示总压力与惯性力的比值表示总压力与惯性力的比值 （（2）弗汝德数（）弗汝德数（Fr）） 若重力起主导作用，则若重力起主导作用，则F = FG 作为分母作为分母代入牛代入牛顿数得顿数得 Fr 表示惯性力与重力的比值表示惯性力与重力的比值 15（（4）马赫数（）马赫数（Ma）） 弹性力起主导作用，则弹性力起主导作用，则F = FE，，作为分母作为分母代入牛顿代入牛顿数得数得 Ma表示惯性力与弹性力的比值表示惯性力与弹性力的比值 （（3）雷诺数（）雷诺数（Re）） 粘性力起主导作用，则粘性力起主导作用，则F = Fν，，作为分母作为分母代入牛顿代入牛顿数得数得 Re表示惯性力与粘性力的比值表示惯性力与粘性力的比值 16（（5）韦伯数（）韦伯数（We）） 表面张力起主导作用，则表面张力起主导作用，则F = Fσ，，作为分母作为分母代入牛代入牛顿数得顿数得 We表示惯性力与表面张力的比值表示惯性力与表面张力的比值 讨论：讨论：（（1）对于某一流动，具有代表性的物理量称为）对于某一流动，具有代表性的物理量称为定性量，或特征物理量；定性量，或特征物理量；（（2））Re、、Fr和和Eu应用较为广泛；应用较为广泛；（（3）气流速度较大，接近或超过音速时，要考）气流速度较大，接近或超过音速时，要考虑虑Ma；；17讨论：讨论：（（4）流动规模较小，表面张力显著时，要考虑）流动规模较小，表面张力显著时，要考虑We；；（（5）） 对于不可压缩流体的恒定流，一般只要对于不可压缩流体的恒定流，一般只要同时考虑满足同时考虑满足Re、、Fr和和Eu，即粘性力、重力、，即粘性力、重力、压力和惯性力所构成的封闭多边形相似；压力和惯性力所构成的封闭多边形相似；（（6）一般情况下，压力为待求量，对应）一般情况下，压力为待求量，对应Eu。

因此，惯性力、粘性力和重力相似时，压力自因此，惯性力、粘性力和重力相似时，压力自行相似所以，行相似所以，Re、、Fr为独立准则数，而为独立准则数，而Eu为为导出准则数，即导出准则数，即 18Re、、Fr和和Eu的选择的选择Re：管内流动、绕流；：管内流动、绕流； Fr：明渠流动、堰流、孔口出流；：明渠流动、堰流、孔口出流；Eu：要求流动压差要求流动压差 Ne：求作用力：求作用力19第四节第四节 近似模型试验近似模型试验 相似性原理的一个目的：模型实验，做实验前先进行上相似性原理的一个目的：模型实验，做实验前先进行上述分析工作，指导实验述分析工作，指导实验模型实验：模型实验：根据相似性原理，将需要进行实验的实际流根据相似性原理，将需要进行实验的实际流动区域作成相似的小比尺的模型，根据模型实验的结果，动区域作成相似的小比尺的模型，根据模型实验的结果，推测原型可能发生的现象推测原型可能发生的现象 三个独立的无量纲量：三个独立的无量纲量：Eu、、Re、、Fr Eu可由可由Re、、Fr导出 故，保证故，保证Re、、Fr相等就可达到动力相似相等就可达到动力相似事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。

事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求20分析分析Re和和Fr 首先，首先，由由Frm = Frp 得得 然后，然后，21 由由Rem = Rep，得，得假设为同种流体，假设为同种流体， 从而，从而，此时模型与原型尺寸一样，即为原型实验此时模型与原型尺寸一样，即为原型实验因此，模型实验只能做到近似相似因此，模型实验只能做到近似相似 解决：保证起主导作用力的相似，忽略次要力相似解决：保证起主导作用力的相似，忽略次要力相似 22例例 一桥墩宽一桥墩宽1.22m，长，长3.5m，平均水深，平均水深2.74m，采用模，采用模型比为型比为1/16进行实验模型中水流速度为进行实验模型中水流速度为0.76m/s时，实时，实测桥墩模型受水的作用力为测桥墩模型受水的作用力为4N，求：（，求：（1）实际水流速）实际水流速度；（度；（2）桥墩所受水流作用力桥墩所受水流作用力 解：主要作用力为重力和压力，决定性准则数为解：主要作用力为重力和压力，决定性准则数为Fr （（1）由重力相似有）由重力相似有 因因，故，故23（（2）由压力场相似有）由压力场相似有 —— Ne因因 ，则，则 24用途：量纲的一致性，将方程表示成无量纲形式；用途：量纲的一致性，将方程表示成无量纲形式； 降低变量个数，简化分析。

降低变量个数，简化分析 一一 瑞利法瑞利法 要点：以指数形式表示变量之间的关系，根据要点：以指数形式表示变量之间的关系，根据量纲和谐原理确定指数量纲和谐原理确定指数 第五节第五节 量纲分析法量纲分析法 确定分析的问题的核心，找出影响参数，确定分析的问题的核心，找出影响参数，分析函数关系的形式分析函数关系的形式25例例 已知不可压缩粘性流体在管内稳定等温流动，其压降已知不可压缩粘性流体在管内稳定等温流动，其压降Δp与与流速流速u，管内径，管内径d，管长，管长l，流体密度，流体密度ρ，流体动力粘，流体动力粘度度μ，管壁粗糙度，管壁粗糙度K等有关试确定其函数关系试确定其函数关系解：列出全部物理量（题干已给出），写成指数形式解：列出全部物理量（题干已给出），写成指数形式【【第一步第一步】】 写出量纲关系式写出量纲关系式【【第二步第二步】】 据量纲和谐原理得据量纲和谐原理得【【第三步第三步】】 M: L: T: 26三个方程，三个方程，6个未知数，得出不定解个未知数，得出不定解 【【第三步第三步】】 代回指数得代回指数得 将相同指数归纳成无量纲准则数形式将相同指数归纳成无量纲准则数形式 或或27或或式中，无量纲常数式中，无量纲常数k及指数及指数a3、、a5和和a6可由实验确定。

可由实验确定 28瑞利法瑞利法的具体步骤：的具体步骤： （（1）列出影响物理过程的全部物理量，并写成）列出影响物理过程的全部物理量，并写成指数形式指数形式要找准影响因素要找准影响因素】】 无量纲常数无量纲常数 （（2）写出量纲关系式）写出量纲关系式 （（3）根据量纲和谐原理，比较量纲根据量纲和谐原理，比较量纲 29（（4）列出指数关系式，并确定指数若有）列出指数关系式，并确定指数若有m个个方程则可确定方程则可确定m个指数，将指数回代入上式得到个指数，将指数回代入上式得到需要的物理方程需要的物理方程 （（5）将得到的物理方程进一步整理成准则数方）将得到的物理方程进一步整理成准则数方程 上例可看出：基本量纲有上例可看出：基本量纲有3个，物理量有个，物理量有7个，得个，得到相似准则数有到相似准则数有4个 302 π 定理定理 定理：在一个物理过程中，如果涉及到定理：在一个物理过程中，如果涉及到n个变量，个变量，并包含有并包含有m个基本量纲，则这个物理过程可由用个基本量纲，则这个物理过程可由用n个物理量组成的个物理量组成的n－－m个无量纲变量来描述个无量纲变量来描述 这些无量纲变量为：这些无量纲变量为： 若物理过程的方程式为若物理过程的方程式为 则可写成无量纲方程为则可写成无量纲方程为 31具体步骤：具体步骤： （（1）找出所有的主要变量（）找出所有的主要变量（n个），列出函数关系。

个），列出函数关系 或或 （（2）分析变量的量纲，确定其中包含的基本量纲（）分析变量的量纲，确定其中包含的基本量纲（m个），则可构成个），则可构成n－－m个无量纲变量个无量纲变量 （（3））m个基本变量：质量，几何结构和流体运动，如个基本变量：质量，几何结构和流体运动，如（（4）用这）用这m个基本变量与剩下的（个基本变量与剩下的（n－－m）个物理量组）个物理量组合成无量纲量合成无量纲量（（5）由量纲和谐原理确定（）由量纲和谐原理确定（n－－m）个无量纲准则数个无量纲准则数 （（6）将待求函数关系式写成相似准则数之间的待求关系）将待求函数关系式写成相似准则数之间的待求关系式 32例例 粘性流体宗掠平板时，影响板面粘性切应力粘性流体宗掠平板时，影响板面粘性切应力τw的因素有：来流速度的因素有：来流速度u∞，距平板前缘的距离，距平板前缘的距离x，，流体密度和动力粘度试用流体密度和动力粘度试用π 定理建立方程定理建立方程解：该过程的函数关系为：解：该过程的函数关系为： 五个物理量涉及到五个物理量涉及到3个基本量纲：个基本量纲：[M]、、[L]和和[T]即n=5, m=3 据据π 定理，可转换成定理，可转换成i = n – m = 2个彼此独立的个彼此独立的相似准则数：相似准则数： 33选取选取u∞，，ρ，，x作为基本量，与剩下的物理量作为基本量，与剩下的物理量τw和和μ 组组成准则数。

成准则数 π1和和π2为无量纲数，为无量纲数，[M]、、[L]和和[T]的指数必为的指数必为0 故故 M: L: T: 解得：解得： 则：则： 34M: L: T: 解得：解得：则：则： 于是，待求准则数方程为于是，待求准则数方程为 试验中变量只有试验中变量只有π1和和π2 ，减少了，减少了3个 35。