河南省中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练.doc

专项八　二次函数综合题类型一 新定义问题(·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c通过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其她两点所连线段的中点(三点重叠除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．例1题图备用图【分析】 (1)把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由点A，B的坐标，运用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M点坐标可表达点P，N的坐标，从而可表达出MA，MP，PN，PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种状况，分别运用相似三角形的性质可得到有关m的方程，可求得m的值；②用m可表达出点M，P，N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到有关m的方程，即可求得m的值．【自主解答】解：(1)∵y＝－x＋c过点A(3，0)，与y轴交于点B，∴0＝－2＋c，解得c＝2，∴B(0，2)．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c通过点A，B，解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y＝－x＋2，∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.∴P(m，－m＋2)，N(m，－m2＋m＋2)，∴PM＝－m＋2，AM＝3－m，PN＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°.当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴－m2＋m＋2＝2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5，∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，例1题解图则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝－m2＋m＋2－2＝－m2＋m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB～Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0(舍去)或m＝.∴M(，0)；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；②由①可知M(m，0)，P(m，－m＋2)，N(m，－m2＋m＋2)，∵M，P，N三点为“共谐点”，∴当P为线段MN的中点时，则有2(－m＋2)＝－m2＋m＋2，解得m＝3(三点重叠，舍去)或m＝；当M为线段PN的中点时，则有－m＋2＋(－m2＋m＋2)＝0，解得m＝3(舍去)或m＝－1；当N为线段PM的中点时，则有－m＋2＝2(－m2＋m＋2)，解得m＝3(舍去)或m＝－.综上可知，当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为或－1或－.1．(·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线通过点A，点P是抛物线上点A，C间的一种动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重叠时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想与否对的，并阐明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多种“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一种“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．第1题图备用图2．(·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重叠)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“随着抛物线”，可见一条抛物线的“随着抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“随着抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的体现式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“随着抛物线”的体现式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并阐明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“随着抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．图①图②3．(·郑州模拟)如图，已知点C(0，3)，抛物线的顶点为A(2，0)，与y轴交于点B(0，1)，点P是抛物线上的一种动点，过点P作PM⊥x轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)记(2)中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多种“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一种“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．4．(·焦作一模)如图①，直线y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛物线y＝x2＋bx＋c通过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A，O，B的相应点分别是点A1，O1，B1.若△A1O1B1的两个顶点正好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．图①图②类型二 线段、角度数量关系探究(·河南)如图①，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c通过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一种动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的相应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．图①图②例2题图备用图【分析】 先拟定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD＝PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；(3)分点P′落在x轴和y轴两种状况计算即可．①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，先运用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表达出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①.【自主解答】解：(1)∵点C(0，4)在直线y＝－x＋n上，∴n＝4，∴y＝－x＋4.当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c通过点A，交y轴于点B(0，－2)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.(2)∵点P为抛物线上一种动点，且横坐标为m，∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)，∴BD＝|m|，PD＝|m2－m－2＋2|＝|m2－m|.∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，∴BD＝PD.①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.(i)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.∴m2－m＝－m，解得1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．(ii)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.∴m2－m＝m，解得3＝0(舍去)，m4＝.②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，解得5＝0(舍去)，m6＝.综上所述，m＝或.即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.(3)P1(－，)，P2(，)，P3(，)．提示：∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为点N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.如解图①，例2题解图①∵ND′－MD′＝2，即(m2－m)－(－m)＝2；∴m＝(舍去)或m＝－；如解图②，　例2题解图②∵ND′＋MD′＝2，即(m2－m)＋m＝2，∴m＝或m＝－(舍去)，∴P(－，)或P(，)．②当点P′落在y轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，例2题解图③∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.∵P′N＝BM，即(m2－m)＝m，∴m＝，∴P(，)．1．(·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值；(3)若点E′是点E有关直线PC的对称点，与否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请阐明理由．2．(·洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC. (1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为什么值时，∠OMB＝90°？(3)在x轴上方的抛物线上，与否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请阐明理由．3．(·新野一模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2通过A(－1，0)，B(2，0)，C三点．直线y＝mx＋交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一种动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上与否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，祈求出点G的坐标；若不存在，请阐明理由．图①图②4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的体现式；(2)抛物线上与否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请阐明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上与否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，祈求出点P的坐标；如果不存。