刷题1+1）2020高考数学讲练试题 素养提升练（五）理（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019吉林实验中学模拟)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i答案 B解析 ∵复数z＝＝＝1＋i，∴复数的共轭复数是1－i，就是复数z＝所对应的点关于实轴对称的点A所对应的复数，故选B.2．(2019四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1答案 A解析 由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，故选A.3．(2019河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B．3＋ C. D．2答案 B解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD和三棱锥B－A1B1C1后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为612＋2()2＝3＋，故选B.4．(2019惠州一中二模)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝(x＋1)2＋y2的最小值为( )A. B. C．2 D．4答案 D解析 作出可行域，可知当x＝1，y＝0时，目标函数z＝(x＋1)2＋y2取到最小值，最小值为z＝(1＋1)2＋02＝4.故选D.5．(2019全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为( )答案 B解析 ∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除选项A，D.故选B.6．(2019贵阳一中二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是( )A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z答案 A解析 由图象可知f(0)＝，故sinφ＝，因|φ|<，故φ＝，又f＝0得到ω＋＝kπ，k∈Z，故ω＝－，k∈Z，因故<ω<，所以ω＝2.所以f(x)＝sin，令2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z，所以kπ－sinx的概率为( )A．1－ B．1－ C．1－ D.答案 B解析 由题意知，3n＝81，解得n＝4，∴0≤x≤π，0≤y≤1.作出对应的图象如图所示，则此时对应的面积S＝π1＝π，满足y≤sinx的点构成区域的面积为S1＝sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，则满足y>sinx的概率为P＝＝1－.故选B.8．(2019天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A．alog0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.510，当0，b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为( )A. B. C．2 D.答案 D解析 由题意可得图象如图所示，F′为双曲线的左焦点，∵AB为圆的直径，∴∠AFB＝90，根据双曲线、圆的对称性可知，四边形AFBF′为矩形，∴S△ABF＝S矩形AFBF′＝S△FBF′，又S△FBF′＝＝b2＝4a2，可得c2＝5a2，∴e2＝5⇒e＝.故选D.11．(2019聊城一模)如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )A. B.C. D.答案 D解析 如图，取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中，cos∠EAD＝＝，故选D.12．(2019厦门一中模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，直线y＝x－2与圆x2＋y2＝2an＋2交于An，Bn(n∈N*)两点，且Sn＝|AnBn|2.若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是( )A．(0，＋∞) B.C．[0，＋∞) D.答案 B解析 圆心O(0,0)到直线y＝x－2，即x－y－2＝0的距离d＝＝2，由d2＋2＝r2，且Sn＝|AnBn|2，得22＋Sn＝2an＋2，∴4＋Sn＝2(Sn－Sn－1)＋2，即Sn＋2＝2(Sn－1＋2)且n≥2；∴{Sn＋2}是以a1＋2为首项，2为公比的等比数列．由22＋Sn＝2an＋2，取n＝1，解得a1＝2，∴Sn＋2＝(a1＋2)2n－1，则Sn＝2n＋1－2；∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n(n≥2)，a1＝2适合上式，∴an＝2n.设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋222＋323＋…＋(n－1)2n－1＋n2n，2Tn＝22＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，∴－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1＝(1－n)2n＋1－2；∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2，若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，即(n－1)2n＋1＋2<λ(2n)2＋2对任意n∈N*恒成立，即λ>对任意n∈N*恒成立．设bn＝，∵bn＋1－bn＝－＝，∴b1b4>…>bn>bn＋1>…，故bn的最大值为b2＝b3，∵b2＝b3＝，∴λ>.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019江西联考)函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．答案 解析 当x<0时，不等式f(x)>可化为x＋2>，解得x>－，结合x<0可得－可化为sinx>，解得2kπ＋0；当a∈(e，＋∞)时，b′<0.∴实数b的最大值是b(e)＝3－4ln e＝2.16．(2019安庆二模)过抛物线y2＝2px的焦点F的直线l与抛物线分别交于第一、四象限内的A，B两点，分别以线段AF，BF的中点为圆心，且均与y轴相切的两圆的半径为r1，r2.若r1∶r2＝1∶3，则直线l的倾斜角为________．答案 解析 由题设有AF∶BF＝1∶3，设AF＝x，BF＝3x，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为D，E，过A作BE的垂线，垂足为S.则AD＝x，BE＝3x，故BS＝2x，所以cos∠ABS＝＝，而∠ABS∈，所以∠ABS＝，故直线l的倾斜角为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019安徽黄山二模)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.解 (1)因为＋＋＋…＋＝n，① 当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，＋＋＋…＋＝n－1，②由①－②得，an＝n＋1，因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N*)．(2)证明：由(1)知，bn＝＝＝－，Tn＝＋＋…＋＝1－，由>0，即Tn<1.18．(本小题满分12分)(2019浙江高考)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90，∠BAC＝30，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．解 解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．由于。
