第4章多元回归分析.ppt

第四章第四章 多元线性回归分析多元线性回归分析《计量经济学》，高教出版社，2011年6月 王少平、杨继生、欧阳志刚等编著1多元线性回归模型多元线性回归模型 －－包含多个解释变量的线性回归模型－－包含多个解释变量的线性回归模型n一元线性回归模型能合理地描述实际经济情况吗？n现实经济情况往往体现：对一个经济变量的解释有多个因素，因此应该使用多个解释变量的多元回归分析n如果一个模型确实存在多个解释变量，我们使用一元线性回归会产生设定偏误《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著2§4.1 多元线性回归模型的两个例子多元线性回归模型的两个例子 一、例题一、例题1：：CD生产函数生产函数 n这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个对参数线性的模型对参数线性的模型n注意：注意：“线性线性”的含义是指方程对参数而言是线的含义是指方程对参数而言是线性的性的 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著3例题二：新凯恩斯混合例题二：新凯恩斯混合Phillips曲线曲线n根据经济学理论数理模型被表述为：n对应的计量经济学模型为：n计量模型有时来源于经济学理论，随机误差项包含一些次要的、没有出现在经济模型中的影响因素《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著4二、二、 多元线性回归模型的一般形式多元线性回归模型的一般形式n一般形式可以表述为如下的形式：n均值方程n线性回归方程与均值方程的联系《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著5问题本质：问题本质： 这部分是解释变量无法解释的随机噪声。

并且被分解的这两部分是正交的，即这两部分没有信息的重叠 多元线性回归方程将被解释变量分解成为两部分： 这部分是可以由解释变量来解释 （2）（1）《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著6三、偏效应三、偏效应n解释变量的估计参数 表示 对被解释变量均值的偏效应 n表示其他被解释变量均保持不变时， 变化一个单位，导致被解释变量均值变化 个单位n为什么叫偏效应？这是因为它的含义恰好类似于高等数学中偏导数的含义《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著7§4.2 多元线性回归模型的多元线性回归模型的OLS估计估计n一、回归系数的估计一、回归系数的估计n1. 回归系数的回归系数的OLS估计：一般形式估计：一般形式 其样本回归函数为： 是OLS估计量 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著8问题本质问题本质nOLS的估计思想：（1）寻找参数估计量 ，使得样本回归函数与所有样本观测点的偏离最小，即残差平方和最小。

为什么不选择离差之和最小化或者离差绝对为什么不选择离差之和最小化或者离差绝对值之和最小化呢？值之和最小化呢？ 因为离差之和会使正负误差抵消，而离差绝对值不便于数学上做优化处理，所以选择了离差平方和最小化作为优化目标，这也就是为什么这种估计方法被称为最小二乘法的原因《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9n（（2）优化目标）优化目标根据其一阶优化条件：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著10得到计算回归系数估计量的正规方程组： 注意注意：只有回归方程中包含常数项，由OLS估计所得残差总和才一定为0含义含义：OLS估计所的残差与解释变量不相关即残差中不存在任何可解释的成份《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著11假定假定7：回归模型的解释变量之间不能存：回归模型的解释变量之间不能存在完全的多重共线性在完全的多重共线性 n“完全的多重共线性”：是指一个解释变量是其他解释变量的线性组合 说明该解释变量所说明该解释变量所提供的信息与其他解释变量是完全重复的。

提供的信息与其他解释变量是完全重复的n当存在完全共线性时，模型的参数不可识别即任何方法都无法得到参数估计值，包括OLSn存在不完全共线性时，可以得到参数估计值OLS估计量是BLUE但与没有多重共线性时相比，估计量的方差较大，估计精度下降《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著12高斯高斯——马尔可夫定理马尔可夫定理 如如果果多多元元线线性性回回归归方方程程满满足足经经典典假假定定条条件件1～～7，，则则回回归归系系数数的的OLS估估计计量量是是线线性性的的、、无无偏偏的的，，最最优优的的（（在在所所有有无无偏偏估估计计量量中中具具有有最最小小方方差差））估估计量，即计量，即BLUE 最最关关键键的的假假定定：：解解释释变变量量是是外外生生变变量量，，它它保保证证了了OLS估计量的无偏性估计量的无偏性 讨讨论论：如果解释变量不满足外生性假定，例如，解释变量与误差项相关，那么误差项对被解释变量的影响由谁反映？ 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著132. 回归系数的回归系数的OLS估计：以二元回归模型为例估计：以二元回归模型为例 基于残差平方和的最小化，得到正规方程组：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著14由正规方程组求解，得到回归系数的估计量：由正规方程组求解，得到回归系数的估计量：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著15n基于方差公式得到各回归系数估计量的方差：基于方差公式得到各回归系数估计量的方差：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著16例子：基于表例子：基于表4.1.1的数据估计中国宏观生产函数的数据估计中国宏观生产函数Se： 0.7880 0.0902 0.0220t值： -11.31367 7.3534 34.1171p值： 0.0000 0.0000 0.0000 P值非常小，这表明各个解释变量对被解释变量有显著的解释作用。

回忆回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率P值非常小的含义是什么呢？《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著17二、随机误差项方差的估计二、随机误差项方差的估计的无偏估计量可以表述为： 自由度为什么是自由度为什么是N-(K+1)？？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著18三、判定系数的调整三、判定系数的调整总平方和等于解释平方和加上残差平方和 TSS＝ESS+RSS 判定系数 后果后果：在回归模型中增加新的解释变量时， 只可能增加，而决不会下降 缺陷缺陷： 只反映拟合效果，不反映自由度损失《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著19调整后的调整后的 调整思想整思想： 对 进行自由度调整《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著20基本统计量基本统计量TSS、、RSS、、ESS的自由度：的自由度：1. TSS的自由度为N-1。

基于样本容量N，因为线性约束而损失一个自由度2. RSS的自由度为N-(K+1)基于样本容量N，统计量因为正规方程组的K+1个线性约束而损失了K+1个自由度3. ESS的自由度为K是K个统计量的加总，统计量的自由度为1《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著21§4.3 多元线性回归模型的假设检验多元线性回归模型的假设检验一、参数假设检验的基本思想一、参数假设检验的基本思想n基于对误差项分布的假定，得到参数估计量的分布；基于对误差项分布的假定，得到参数估计量的分布；n对参数估计量进行标准化，使之服从某一标准分布，如我们对参数估计量进行标准化，使之服从某一标准分布，如我们熟悉的熟悉的t分布，得到检验统计量；分布，得到检验统计量；n以原假设的参数值作为检验统计量中的参数真值如果原假以原假设的参数值作为检验统计量中的参数真值如果原假设为设为“真真”，则检验统计量就服从相应的理论分布反之，，则检验统计量就服从相应的理论分布反之，检验统计量就不服从该分布检验统计量就不服从该分布n基于所选择的显著性水平，将检验统计量的理论分布区间划基于所选择的显著性水平，将检验统计量的理论分布区间划分为小概率的分为小概率的“拒绝域拒绝域”和大概率的和大概率的“不拒绝域不拒绝域”。

n根据参数的估计值计算检验统计量的值如果检验统计值出根据参数的估计值计算检验统计量的值如果检验统计值出现在拒绝域，根据现在拒绝域，根据“小概率事件原理小概率事件原理”，原假设很可能是，原假设很可能是“假假”的，则拒绝原假设反之，就没有充分的理由拒绝原假的，则拒绝原假设反之，就没有充分的理由拒绝原假设《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著22二、单参数的显著性检验二、单参数的显著性检验 1. 随机误差项方差的显著性检验随机误差项方差的显著性检验如果随机误差项是经典误差项，且满足正态性假定，则：＝ 来源来源：标准化残差服从标准正态分布，统计量实际上是N-(K+1)个相互独立的标准化残差的平方和而服从标准正态分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从 分布《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著23双侧检验双侧检验0概率密度概率1－图4.3.1 （N-K-1）的双侧临界值双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著240概率概率概率密度图4.3.2 （N-K-1）的单侧临界值单侧检验单侧检验拒绝域在右侧拒绝域在左侧《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著25例子：中国宏观生产函数例子：中国宏观生产函数估计得到： 检验统计值为： 13.8439<<41.9232，待检验假设为： 在5%的显著性水平上，不能拒绝 的原假设。

《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著262. 单个回归系数的显著性检验单个回归系数的显著性检验如果随机误差项是经典误差项，并且满足正态性假定 ： 用估计量的标准误替代标准差，统计量服从t分布即： 注意：注意：与一元回归的唯一区别是自由度《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著27三、多参数的线性约束检验三、多参数的线性约束检验1：模型的总体显著性检验：模型的总体显著性检验（5.4.3）、…、 若随机误差项满足中至少一个不为0则在原假设成立情况下：有《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著28F分布的密度函数分布的密度函数0Fα概率1－概率概率密度图4.3.3 F检验的判定规则注意：注意：总体显著性检验是单边的右侧检验总体显著性检验是单边的右侧检验 若统计量的统计值超过 ，则拒绝原假设《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著292：模型参数之间的线性约束检验：：模型参数之间的线性约束检验： 例子：柯布－道格拉斯生产函数检验假设为：＝1 这样的多参数单个线性约束，有两种检验方法. 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著30本例中： =5.9456。

p值为0.0000 结论：结论：拒绝规模报酬不变的原假设，而认为规模报酬是递增的（为什么？）为什么？） （（1））t检验检验《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著31（（2））F检验：检验：n无约束回归方程n将原假设中的约束条件带入回归方程，得到了所谓的“有约束回归方程” 将其RSS记为，自由度为N-3将其RSS记为，自由度为N-2《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著32基于和，在原假设成立的情况下，有如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的Ｆ值反之，我们会倾向于得到较大的Ｆ值检验统计量检验统计量判定判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平，则拒绝原假设《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著33中国生产函数的例子中国生产函数的例子 ：：＝39.2330 ＝0.0279，＝0.0700， F检验统计值为：该F统计值的p值为0.0000，所以，我们可以拒绝中国经济规模报酬不变的原假设 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著343：参数的线性约束检验：参数的线性约束检验：F检验一般形式检验一般形式对于多元线性回归模型：参数的多个约束：待检验假设待检验假设：原假设中至少有一个约束条件不成立。

《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著35基于和，在原假设成立的情况下，有如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的Ｆ值反之，我们会倾向于得到较大的Ｆ值检验统计量检验统计量判定判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平，则拒绝原假设《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著364：经济关系的结构稳定性检验：：经济关系的结构稳定性检验：F检验的一检验的一个例子个例子——邹检验邹检验n例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？1978～1992年： 1993～2006年： 无约束回归无约束回归：参数可以不同受约束回归受约束回归：参数不变1978～2006年： 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著37F检验统计量检验统计量：：在原假设为真时，其分布为 本例中，邹检验结果：P=0.0000 结论结论：拒绝中国生产函数保持稳定的原假设 待待检验假假设：：：原假设中约束条件至少有一个不成立 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著38t检验与检验与F检验的总结检验的总结nt检验检验 优点：优点：可作单侧检验 不足：不足：无法检验多个约束条件nF检验检验 优点：优点：可检验多个约束条件 不足：不足：无法进行单侧检验《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著39§4.4 极大似然估计与似然比检验极大似然估计与似然比检验一、极大似然估计一、极大似然估计线性回归方程：线性回归方程：如果随机误差项是满足正态性假定的经典误差项，即 ，则服从相互独立的正态分布： 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著40的联合概率密度函数：基于未知参数的估计量 ，该联合概率密度函数被称为似然函数：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著41ML的基本思想的基本思想： 找到一组参数估计值，使得我们观测到的样本数据出现的概率最大，即似然函数最大。

极大似然估计的优化目标：注意注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参数估计值的最优解《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著42极大似然估计的优化一阶条件：极大似然估计的优化一阶条件：结论：结论：回归系数的回归系数的ML估计量与估计量与OLS估计量完全等价估计量完全等价在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著43二、参数约束的似然比检验二、参数约束的似然比检验例子：柯布－道格拉斯生产函数例子：柯布－道格拉斯生产函数无约束方程：受约束方程： 待检验假设：待检验假设：无约束方程进行ML估计，得到极大对数似然函数值：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著44受约束方程的极大对数似然函数值：受约束方程的极大对数似然函数值：似然比检验统计量：似然比检验统计量：原假设成立的情况下： q是原假设中约束条件的个数 讨论：讨论：检验统计量中为什么用无约束对数似然函数值减受约束对数似然函数值？《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著45§4.5 线性回归模型的扩展线性回归模型的扩展一、含有对数化变量的模型一、含有对数化变量的模型 对 的弹性， 不变的条件下， 每增加一个百分点， 平均增加 个百分点。

半弹性， 不变的条件下， 每增加一个单位， 平均增加 100× 个百分点半弹性， 不变的条件下， 每增加一个单位， 平均增加 0.01× 个百分点《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著46二、多项式模型二、多项式模型n厂商平均成本与产量之间的厂商平均成本与产量之间的U型关系型关系 产量平均成本图4.5.1 厂商平均成本曲线《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著47环境库兹涅茨曲线环境库兹涅茨曲线 n环境污染与人均收入的关系环境污染与人均收入的关系人均收入环境污染图4.5.2 环境库兹涅茨曲线《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著48环境库兹涅茨曲线的回归方程：环境库兹涅茨曲线的回归方程： （1）回归系数不再反映解释变量对被解释变量的偏效应（2）多项式模型可以帮助估计经济关系发生转换的位置 经济关系发生转换的位置是：即 WG：排污量；PGDP：人均GDP《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著49三、变量的时间趋势三、变量的时间趋势n考察一个经济体的生产函数时，受知识积累等多方面因素影响，其总产出可能会包含一个随时间变化的确定性成份n对数变换的形式为 n通过引入时间变量作为解释变量以退化被解释变量时间趋势的同时，还同时退化了其他所有解释变量的时间趋势。

《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著50n变量时间趋势的等价处理变量时间趋势的等价处理:、n退势后变量的等价回归方程：退势后变量的等价回归方程：《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著51§4.6 多元回归分析实例：货币需求分析多元回归分析实例：货币需求分析 n货币需求的影响因素：货币需求的影响因素： 总收入和持有货币的机会成本 RM： 经过价格因素调整的货币供给量M2 RGDP： 经过价格调整后的实际GDP， IB：为长期债券利率（作为长期利率的替代变量） ID：为储蓄利率（作为短期利率的替代变量）《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著52OLS估计结果：估计结果： t值 7.556 13.789 -7.970 0.896p值(t统计量) 0.000 0.000 0.000 0.374 ＝0.926， ＝0.922， RSS＝0.0926。

总体显著性的F统计值＝213.235 p值(F统计量)＝0.000 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著53-0.10-0.050.000.050.1011.511.611.711.811.912.012.11984198619881990199219941996残差观测值拟合值 图4.6.1 货币需求的实际观测值、拟合值和残差 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著54一、回归结果的经济解释一、回归结果的经济解释n1. 回归系数的经济解释回归系数的经济解释（1）lnRGDPn系数估计值1.296：总收入对货币需求有正向的影响（交易性需求） n实际收入水平每增加一个百分点，实际货币需求相应地平均增加1.296个百分点n系数估计值的t统计值为13.789，其p值0.00，意味着我们可以拒绝 ＝0的原假设. 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著55（2）IBn系数估计值为-2.616：长期利率的上升会导致持有货币的机会成本增加，从而减少对货币的需求n长期利率每上调一个基点（0.0001），货币需求平均下降0.02616％，即0.02616个百分点。

n系数估计值的t统计值为-7.970，其p值0.00，（3）IDn系数估计值的t统计值为0.896，其p值为0.374，意味着短期利率对于货币需求量的影响在统计上是不显著的 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著56二、残差及其正态性检验二、残差及其正态性检验n在有限样本中，所有的统计推断都依赖于随机误差项的正态性假设，所以必须对误差项的正态性假设进行检验n残差项的图、直方图提供了最简单的图形观察的检验方式nJB统计量的检验《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著57nJB正态性检验统计量正态性检验统计量其中：：S为残差序列的偏度；K为其峰度JB检验用来判定一个分布的偏度和峰度是否与正态分布一致正态分布偏度为0，峰度为3）JB检验的原假设为：变量（这里就是残差）服从正态分布 原假设成立时，JB检验统计量服从自由度为2的分布，即《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著58n货币需求方程残差的货币需求方程残差的JB检验检验 偏度S＝-0.1117 峰度K＝2.8329 JB＝0.1783 p值为0.9147。

根据JB检验统计量的p值，我们不能拒绝残差序列（进而误差项）服从正态分布的原假设《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著59三、参数线性约束的检验三、参数线性约束的检验n货币需求方程： （4.6.1） n文献中通常会用长期利率与短期利率之差长期利率与短期利率之差即变量IB-ID作为持有货币机会成本的度量指标即模型（4.6.1）可以表述为： （4.6.4） 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著60n回归系数的线性约束：回归系数的线性约束：n命题命题“长期利率与短期利率之差可以度量持有长期利率与短期利率之差可以度量持有货币的机会成本货币的机会成本” 对应的待检验假设：对应的待检验假设： （4.6.4）是无约束方程（4.6.1）的受约束形式 《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著61nF检验检验 RSSur＝0.0926，RSSr＝0.12216.192 检验结论检验结论：就本例所考察的经济体而言，“长期利率与短期利率之差可以度量持有货币的机会成本” 这一命题不成立。

在5％显著性水平上，F(1,51)的临界值为4.03《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著62§4.7 分布滞后模型与解释变量的选择分布滞后模型与解释变量的选择n分布滞后模型分布滞后模型：模型包含解释变量的滞后项n例子例子表示鸡蛋行业第t期的投资额形成的对t+1期鸡蛋市场价格的预期是在第t期《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著63n预期价格没有观测数据根据适应性预期的假定，只能以本期和以前几期鸡蛋的市场价格作为下一期预期价格的替代变量即：分布滞后模型的主要特点就是考虑了解释变量对被解释变量的滞后影响 即期乘数 中期乘数 ，长期乘数…《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著64如何选择分布滞后模型的滞后阶数如何选择分布滞后模型的滞后阶数m？？n调整后的判定系数可以作为一个选择依据如果知道有一个最大限度的滞后阶数M，从M阶滞后开始依次剔除最高阶的滞后项，如果被剔除项是必要的，将会减小，否则就会增加。

n信息判定准则：赤池信息准则（AIC）、施瓦茨准则（SC）《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著65信息准则的基本思想信息准则的基本思想n如果我们减少了一个不必要的滞后项，RSS基本 不变而m减小了1，所以AIC和SC值会倾向于下降n如果我们减少了一个必要的滞后项，RSS会显著增加，而m仅减小了1，所以AIC和SC的值会倾向于上升n从一个足够大的滞后阶数M开始，依次剔除最高阶的最后项，基于AIC和SC的最小化，我们就可以确定一个恰当的滞后阶数m《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著66本章小结本章小结n多元线性回归模型的回归系数可以反映解释变量对被解释变量的偏效应n 可以对解释变量的贡献和自由度损失进行权衡，比 更好地反映了模型的拟合优度nt检验仅用于参数单个约束条件的检验，而F检验可用于参数的多个约束条件的检验总体显著性的检验、经济关系稳定性的邹检验等都是F检验一般形式的应用特例n如果随机误差项是满足正态性假定的经典误差项，线性回归方程中回归系数的极大似然估计量与OLS估计量等价，误差项方差的极大似然估计尽管是有偏的，但具有一致性。

参数约束检验可以基于极大似然估计结果通过似然比检验统计量来实现n含有对数化变量的回归方程有助于分析变量之间的弹性与半弹性多项式模型有助于分析变量之间的U型、倒U型关系、以及判定顶点或拐点的位置n包含了解释变量的滞后项的模型被称为分布滞后模型，有助于分析解释变量对被解释变量的即期、中期乃至长期影响《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著67。