第22讲含参数的不等式(2).doc

含参数的不等式( 2 )3．含参数的不等式的成立问题首先请看这样一个题目：已知函数(Ⅰ)若的定义域,试求的取值范围.(Ⅱ) 若在上有意义, 试求的取值范围.(Ⅲ)若的解集为,试求的值. 这三问中,(Ⅰ) 的定义域非空,相当于存在实数,使成立, 是能成立问题.(Ⅱ)在区间上有意义,等价于在恒成立, 是恒成立问题.(Ⅲ)的解集为,等价于不等式的解集为;是恰成立问题.在近几年的高考数学试题中，常常出现这类含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.（1） 不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序基本上是这样的:①恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.②能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, 则等价于函数在区间上的最小值小于.③恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,如果从解题模式看,好象问题很简单, 但是, 由于试题的结构千变万化, 试题的设问方式各不相同, 就使得题目变得十分灵活, 如何对这类题目进行思辨和模式识别, 把问题化归到常见的基本的题型, 是高考复习的一个课题. （2）不等式的恒成立问题【例1】设,若仅有一个常数使得对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为 【解】 . 由得,则在上是减函数,本题等价于在上恒成立,因此有 即,解得.因为常数是唯一的,所以即的取值集合为.【例2】若上是减函数，则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【解】C. 由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．【例3】已知函数（），对于，总有成立，则实数a的值为　　　　　．【解】4. 当时,;当时, 可化为 ,设,则,所以,在上单调递增,在上单调递减,因此,当时, 最大, ,从而.当时, 可化为 ,设,则,所以,在上单调递增,因此,当时, 最小, ,从而.由以上,【例4】设函数.(Ⅰ) 当时,讨论函数的单调性;(Ⅱ) 若函数仅在处有极值,求的取值范围;(Ⅲ) 若对于任意的,不等式在上恒成立, 求的取值范围.【解】(Ⅰ) 当时, 令,得当变化时, 的变化情况如下:负正负正减极小值增极大值减极小值增所以在和内是增函数,在和内是减函数.(Ⅱ) ,显然不是方程的根,为使函数仅在处有极值,必须使恒成立,于是有解得.这时,是的唯一的极值.(Ⅲ) 由条件可知, 从而恒成立.因此,当时, 当时,所以,函数在区间上的最大值是与中的最大者.于是对于任意的,不等式在上恒成立的充分必要条件是 即在上恒成立.由,所以的取值范围为【例5】已知函数在与时都取得极值(Ⅰ)求的值与函数的单调区间.(Ⅱ)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

解】(Ⅰ) ，由，得,.，函数f（x）的单调区间如下表：（－¥，－）－（－，1）f¢（x）＋0－0＋f（x）增极大值减极小值增所以函数的递增区间是与,递减区间是(Ⅱ) ，，当时，＝＋c为极大值，而，则为最大值要使,恒成立，只需.解得或.【例6】已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.【解】 依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是, t的取值范围.是.【例7】设数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.【解】（Ⅰ）依题意得，即.当n≥2时，;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故=.因此，使得成立的必须满足,即，即,故满足要求的最小整数为10.需要注意的是，在求得参数的范围时，什么时候有等号，什么时候没有等号？如例5，要使,恒成立，只需，而.解可得的范围， 而例6，要使在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,的最大值应在处取得，但是，函数的定义域是一个开区间 ，没有函数值，只是在开区间 上的上确界，正因为在取不到值，所以时，仍然有成立，所以应该为.如果本题改为在闭区间上恒成立,则只有,这就是例5的情形.再如例7,第（Ⅱ）问等价于使得恒成立,显然, 没有最大值,但是有是的极限值,这里用极限值代替最大值,此时也需加上等号, 即,.【例8】已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围.【解】先看如下的解法:令,要使在区间上是减函数,只要在区间上是减函数,且在区间上.因此,需,的最小值应在时取得,然而,题目给出的是开区间,为此应有 解得.【例9】设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。

解】这是一个恒成立问题,由于不等式的两边都含有变量,所以可以构造函数于是问题转化为对所有的恒成立对所有的成立.下面求的最小值.令得 减最小值 增由以上, 在上是减函数,而在上是增函数,,(1) 若,即,由的单调性可知,在时, ,若,即,由的单调性可知, .此时, 不恒成立.由以上, 实数的取值范围是.【例10】已知函数,其中为参数,且.(Ⅰ) 当时,判断函数是否有极值;(Ⅱ) 要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(Ⅲ) 若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.【解】(Ⅰ) 当时, ,则函数在上是增函数,所以没有极值.(Ⅱ) ,令得.(1) 当时,极大值极小值因此,函数在处取得极小值.解得.因为,所以或.(2) 当时,极大值极小值因此,函数在处取得极小值但是, 与矛盾,此时无解.综合以上, 参数的取值范围是.(Ⅲ) 由(Ⅱ), 函数的增区间是和,由题意. 应是它们的子区间.于是有或在这里,出现了不等式,这实际上是恒成立问题,即不等式在时恒成立,求的取值范围.因此,当时,不等式恒成立.解得,由以上, 实数的取值范围是【例11】已知函数，其中是的导函数.（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点【解】只考虑（Ⅰ）.解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 即 解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.【例12】求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.【解】因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于 ①在的条件下,恒成立.整理①式得 ②于是,本题又等价于②式在的条件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为【例13】三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．【解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立.由在时,有最小值,于是,.【例14】已知两个函数，其中为实数.(Ⅰ)若对任意的，都有成立，求的取值范围；(Ⅱ)若对任意的，都有，求的取值范围.(Ⅲ)若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.【解】 (Ⅰ) 令,问题转化为 在 上恒成立,为此只需在上的最小值 即可∵, 由, 得 或 . ∵,∴, 由, 解得 . (Ⅱ)由题意可知当时,都有. 由 得.∵, , ∴. 由得,∵, , , ,∴.则, 解得. (Ⅲ) 若对于任意,总存在使得成立，等价于的值域是的值域的子集，由(Ⅱ)可知，在的值域为，在的值域为，于是，，即满足解得。

例15】设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．【解】（I）所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）本问有两小问,都是恒成立问题,但是,设问的方式不同.其中,第（i）问是一个在区间内任意正实数恒成立问题,而第（ⅱ）问则是一个在唯一一个值得一提上,对任意正实数恒成立问题问题,因而,解法上,也有一些区别.（i）解法1.令，则，当时，由，得，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．解法2.对任意固定的，令，则，由，得．当时，． 当时，.所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）解法1.．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，， 再取，得，所以， 即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．解法2.对任意，，因为关于的最大值是。