基本不等式及应用知识梳理及典型练习试题（附含答案解析).doc

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,,b>0,则≥,当且仅当时取"＝"．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点：<1>各项或各因式均正；〔一正<2>和或积为定值；〔二定<3>等号成立的条件存在：含变数的各项均相等,取得最值．〔三相等2．常用不等式<1>a2＋b2≥．<2>注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤〔2.(3) ab≤ ．<4>＋≥2．<5>.〔6<7>abc≤;<8>≥；3．利用基本不等式求最大、最小值问题<1>求最小值：a>0,b>0,当ab为定值时,a＋b,a2＋b2有,即a＋b≥,a2＋b2≥.<2>求最大值：a＞0,b＞0,当a＋b为定值时,ab有最大值,即；或a2＋b2为定值时,ab有最大值,即. 设a,b∈R,且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是<　　>A.6 B.4C.2 D.2解：因为2a＞0,2b＞0,由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4,当且仅当a＝b＝时取等号,故选B. 若a＞0,b＞0,且a＋2b－2＝0,则ab的最大值为<　　>A. B.1 C.2 D.4解：∵a＞0,b＞0,a＋2b＝2,∴a＋2b＝2≥2,即ab≤.当且仅当a＝1,b＝时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b,其全程的平均时速为v,则<　　>A.a＜v＜ B.v＝C.＜v＜ D.v＝解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b,∴v＝＝＜＝.又v－a＝－a＝＞＝0,∴v＞a.故选A. <>若实数x,y满足xy＝1,则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2,当且仅当x＝±时等号成立.故填2. 点在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动,则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知,m＞0,n＞0,m＋n＝1,所以mn≤＝,当且仅当m＝n＝时取等号,∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2,故填－2.类型一　利用基本不等式求最值　<1>求函数y＝的值域.解：∵x＞－1,∴x＋1＞0,令m＝x＋1,则m＞0,且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9,当且仅当m＝2时取等号,故ymin＝9.又当m→＋∞或m→0时,y→＋∞,故原函数的值域是[9,＋∞>.<2>下列不等式一定成立的是<　　>A.lg>lgx0> B.sinx＋≥2C.x2＋1≥2 D.>1解：A中,x2＋≥x,当x＝时,x2＋＝x.B中,sinx＋≥2；sinx＋≤－2>.C中,x2－2|x|＋1＝<|x|－1>2≥0.D中,∈<0,1].故C一定成立,故选C.点拨：这里<1>是形如f＝的最值问题,只要分母x＋d＞0,都可以将f转化为f＝a＋＋h<这里ae＞0；若ae＜0,可以直接利用单调性等方法求最值>,再利用基本不等式求其最值.<2>牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.　<1>已知t＞0,则函数f＝的最小值为.解：∵t＞0,∴f＝＝t＋－4≥－2,当且仅当t＝1时,fmin＝－2,故填－2.<2>已知x＞0,y＞0,且2x＋8y－xy＝0,求：<Ⅰ>xy的最小值；<Ⅱ>x＋y的最小值.解：<Ⅰ>由2x＋8y－xy＝0,得＋＝1,又x＞0,y＞0,则1＝＋≥2＝,得xy≥64,当且仅当x＝4y,即x＝16,y＝4时等号成立.<Ⅱ>解法一：由2x＋8y－xy＝0,得x＝,∵x＞0,∴y＞2,则x＋y＝y＋＝＋＋10≥18,当且仅当y－2＝,即y＝6,x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0,得＋＝1,则x＋y＝·＝10＋＋≥10＋2＝18,当且仅当y＝6,x＝12时等号成立.类型二　利用基本不等式求有关参数范围　若关于x的不等式<1＋k2>x≤k4＋4的解集是M,则对任意实常数k,总有<　　>A.2∈M,0∈M B.2∉M,0∉MC.2∈M,0∉M D.2∉M,0∈M解法一：求出不等式的解集：<1＋k2>x≤k4＋4⇒x≤＝＋－2⇒x≤＝2－2<当且仅当k2＝－1时取等号>.解法二<代入法>：将x＝2,x＝0分别代入不等式中,判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于"恒成立"的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1) a＞f恒成立⇔a＞fmax；<2>a＜f恒成立⇔a＜fmin；<3>a＞f有解⇔a＞fmin；<4>a＜f有解⇔a＜fmax.　已知函数f＝ex＋e－x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf≤e－x＋m－1在<0,＋∞>上恒成立,求实数m的取值范围.解：由条件知m≤e－x－1在<0,＋∞>上恒成立.令t＝ex,则t＞1,且m≤－＝－对任意t＞1成立.∵t－1＋＋1≥2＋1＝3,∴－≥－,当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立.故实数m的取值范围是.类型三　利用基本不等式解决实际问题　围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙<利用旧墙需维修>,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x<单位：元>,修建此矩形场地围墙的总费用为y<单位：元>.<1>将y表示为x的函数；<2>试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解：<1>如图,设矩形的另一边长为am,则y＝45x＋180＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360,得a＝,所以y＝225x＋－360.<2>∵x≥0,∴225x＋≥2＝10800,∴y＝225x＋－360≥10440,当且仅当225x＝,即x＝24时等号成立.答：当x＝24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.　如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔排出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知排出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2,问a,b各为多少m时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小.解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数,根据题意可知：y＝,其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小,只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60,即a＋2b≤30－ab.∵a＋2b≥2,∴2·＋ab≤30,得0＜≤3.当且仅当a＝2b时取"＝"号,ab最大值为18,此时得a＝6,b＝3.故当a＝6 m,b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤,代入y＝求解.1.若a＞1,则a＋的最小值是<　　>A.2 B.a C.3 D.解：∵a＞1,∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3,当a＝2时等号成立.故选C.2.设a,b∈R,a≠b,且a＋b＝2,则下列各式正确的是<　　>A.ab＜1＜ B.ab＜1≤C.1＜ab＜ D.ab≤≤1解：运用不等式ab≤2⇒ab≤1以及2≤2⇒2≤a2＋b2<由于a≠b,所以不能取等号>得,ab＜1＜,故选A.3.函数f＝在<－∞,2>上的最小值是<　　>A.0 B.1 C.2 D.3解：当x＜2时,2－x＞0,因此f＝＝＋<2－x>≥2·＝2,当且仅当＝2－x时上式取等号.而此方程有解x＝1∈<－∞,2>,因此f在<－∞,2>上的最小值为2,故选C.4.<>要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是<　　>A.80元 B.120元C.160元 D.240元解：假设底面的长、宽分别为xm, m,由条件知该容器的最低总造价为y＝80＋20x＋≥160,当且仅当底面边长x＝2时,总造价最低,且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是<　　>A.若a,b∈R,则＋≥2＝2B.若x,y都是正数,则lgx＋lgy≥2C.若x<0,则x＋≥－2＝－4D.若x≤0,则2x＋2－x≥2＝2解：对于A,a与b可能异号,A错；对于B,lgx与lgy可能是负数,B错；对于C,应是x＋＝－≤－2＝－4,C错；对于D,若x≤0,则2x＋2－x≥2＝2成立.故选D.6.<>若log4<3a＋4b>＝log2,则a＋b的最小值是<　　>A.6＋2 B.7＋2C.6＋4 D.7＋4解：因为log4<3a＋4b>＝log2,所以log4<3a＋4b>＝log4,即3a＋4b＝ab,且即a＞0,b＞0,所以＋＝1,a＋b＝＝7＋＋≥7＋2＝7＋4,当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解：因为x＞0,所以x＋≥2<当且仅当x＝1时取等号>,所以有＝≤＝,即的最大值为,故填a≥.8.<>设m∈R,过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P,则|PA|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A<0,0>,B<1,3>.且无论m取何值,两直线垂直.所以无论P与A,B重合与否,均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.所以|PA|·|PB|≤<|PA|2＋|PB|2>＝5.当且仅当|PA|＝|PB|＝时,等号成立.故填5.9.<1>已知0＜x＜,求x<4－3x>的最大值；<2>点在直线x＋2y＝3上移动,求2x＋4y的最小值.解：<1>已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x<4－3x>＝<3x><4－3x>≤＝,当且仅当3x＝4－3x,即x＝时"＝"成立.∴当x＝时,x<4－3x>取最大值为.<2>已知点在直线x＋2y＝3上移动,所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当 即x＝,y＝时"＝"成立.∴当x＝,y＝时,2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0,b＞0,且2a＋b＝1,求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0,b＞0,2a＋b＝1,∴4a2＋b2＝<2a＋b>2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2,即≤,ab≤,∴S＝2－4a2－b2＝2－<1－4ab>＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝,b＝时,等号成立.1。