考前导数解答题.doc

X1In x 1 In x-i(x xj2由(1)知1 In x-i , • h'(x) 0 ,即h(x)在(为，)上是增函数.(3) 0 X1 xX2，由(2)知,h(x)f (x) f(xjx x1在(X1,)上是增函数,则 f(X2) f(X1)X2 X1f(x) f(X1)X X1X1 X22得，f(X^) 1[f(X1) f(X2)].考前导数解答题(教师版)1. (本小题满分15分)已知函数 f(x) x In x , g(x) In x a , (a 0).x(1) 求函数g(x)的极值；(2) 已知人0 ,函数h(x)丄凶一， x (洛，)，判断并证明h(x)的单调x x-1性；(3) 设0为x2，试比较f(企 空)与丄［f(x!) f (x2)］，并加以证明.2 2解析：(1) g '(x) 2 :，令 g '(x) 0,得 X - X (X Xj2 (x) — Inx 在[X1,)上是增函数，当 x (X1,)时，(x) (xj , a .x x x当 x (0,a)时，g'(x) 0 , g(x)是减函数；当x (a,)时，g'(x) 0 , g(x)是增函数.•••当x a时，g(x)有极小值In a 1, g(x)无极大值.(2) h'(x)f '(x)(x X1) f (x) f (X1)(X X1)21(1 —)(x xj x In x x-i In X!2. (本小题满分16分)已知函数f(x) ax3 bx2 (b a)x ( a , b不同时为零的常数)，导函数为f(x).(1) 当a -时，若存在x [ 3, 1]使得f (x) 0成立，求b的取值范围；3(2) 求证：函数y f (x)在(1, 0)内至少有一个零点；(3) 若函数f (x)为奇函数，且在x 1处的切线垂直于直线x 2y 3 0，关于x的方程1f (x) -t在[1,t](t 1)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围•4解析：(1)当a1 时，f(X)2 =x2bx b 1 =33当b2,，解得b26t b 2,当f (3)015f ( 1) 0(2)因为f (x) 3ax22bx(b a)，法一: 当I a 0 时，x1适合题意2当a 0时，3x2 2bxa(ba1) 0，令 tb无解,(t(x1则3x21)，因为h(令 h(x) 3x 2txb)2 b2 bb，a13，其对称轴为直线所以b的的取值范围为2tx (t 1)当 t 1 时，h(0)o,所以yh(x)在(扣)内有零点.当 t 1 时，h( 1)11 0，所以y h(x)在(1刁内有零点.因此，当a 0时,h(x)在(1, 0)内至少有一个零点.综上可知，函数yf (x)在(1, 0)内至少有一个零点.罟).f(宀法二：f (0) b a，f ( 1) 2a b，1由于a , b不同时为零，所以f ( -)f ( 1) 0，故结论成立.3(3)因为 f (x) =ax3 bx2 (b a)x 为奇函数，所以 b 0,所以 f (x) ax3 ax， 又f(x)在x 1处的切线垂直于直线x 2y 3 0，所以a 1，即f(x) x3 x .因为f(x) 3(x T(x彳)所以f(x)在(，¥)，佇，)上是増函数，在［弓F上是减函数，由f (x) 0解得x 1, x 0，如图所示,当—t 0 时，f(t)1 t0，解得,3t 0 ；343当t0时，显然不成立；当0t严时，f(t)1t0，即t t丄，解得0 t44当t—时，f(t) ^t0，故迈t3 432所以、所求t的取值范围是仝t0或0t空.223.(本小题满分15分)当 1t 子时，f(t) 4t。

即t31设a 0，两个函数f(X)axe ， g(x) blnx的图像关于直线y x对称.(1) 求实数a,b满足的关系式;(2) 当a取何值时，函数h(x) f (x) g(x)有且只有一个零点;1(3) 当a 1时，在(》 )上解不等式f(1 x) g(x) x2 .解析:(1) 设P(x， eax )是函数f( X ) eax图像上任一点，则它关于直线 y x对称的点P，(eax， x)在函数 g(x) bl nx 的图像上， x bl n eax abx ， ab 1.(2) 当a 0时，函数h(x) f(x) g(x)有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，Q两个函数关于直线y x对称， 两个函数图像的交点就是函数 f(x) eax，的图像与直线y x的切点.设切点为 A( xo， eax0) ， Xo = eax° f，(x) aeax， aeax0 =1 ， ax0=1， Xo = eax° = e,1 1当a 时，函数h(x) f (x) g(x)有且只有一个零点x e;x e1 11r，(x) — e1x+— 2x，当 x —,1 时，一2x 2 1 1-e1 x 1 , r，(x)v0,x 2 x1当 x 1,+ 时， 2x 1 2 —1 — e1 x 0 , r，(x)v0 .x1 r (x)在 -， 上是减函数.2又r(1)= 0， 不等式f(1 x)+g x x2解集是1,.14. (本小题满分16分)已知函数f (x) kex, g(x) In x，其中k 0 .若函数f(x), g(x)在它们k的图象与坐标轴交点处的切线互相平行.(1) 求k的值；(2) 是否存在直线I，使得I同时是函数f(x),g(x)的切线？说明理由.(3) 若直线x a(a 0)与f (x) > g(x)的图象分别交于A、B两点，直线y b(b 0)与h(x)的图象有两个不同的交点C、D.记以A、B、C、D为顶点的凸四边形面积为S，求证：S 2 .解析：(1 ) f(x), g(x)与坐标轴的交点分别为(0,k),(1,0)，1 1由 f(x) kex, g(x) Inx 得 f (x) kex, g (x)k kx由题意知f (0) g (1)，即k丄，又k 0,所以k 1 . k(2) 假设存在直线I同时是函数f(x),g(x)的切线，设 I 与 f(x),g(x)分别相切于点 M(m,em),N(n,ln n) ( n 0)，则 l:y emem(x m)或表示为y Inn1(x n)， nm 1一 e — 则 n ，要说明I是否存在，只需说明上述方程组是否有解.em(1 m) Inn 11由 em -得 n e m，代入 em(1 m) In n 1 得 em(1 m) m 1，即 em(1 m) m 1 0， n令 h(m) em(1 m) m 1，因为h(1) 2 0,h(2) e2 3 0，所以方程em(1 m) m 1 0有解，则方程组有解，故存在直线I，使得I同时是函数f(x),g(x)的切线.(3) 设 A(xo,ex ) , B(Xo,ln Xo)，则 AB ex In Xo ,1设 F(x) e" In Xo，二 G(x) F (x) eX)Xo1 1二 G (x) e" — 0 , 即 G(x)在(0,)上单调递增，又 G(—) ,e 2 0,G⑴ e 1 0 , Xo 2故G(x)在(0,)上有唯一零点，设为t (-,1)，则d - 0,因此e -,t Int ,2 t t当 x (0,t)时，F (x) G(x) G(t) 0,.・. F(x)在(0,t)上单调递减；当 x (t,)时，F (x) G(x) G(t) 0,二 F(x)在(t,)上单调递增，11 1因此 F(x) F(t) et Int - t，由于 t (—,1)，二 F(x) - t 2，则 AB e冷 In X) 2 .t 2 t设C(x1,e>1), D(X2,In X2)，则 ex, In x?，令 eX1 In x? u，则禺 In u,X2 eu ,1 1二 CD x2 x1 eu Inu F(u) 2，故 S -AB CD - 2 2 2 .2 25. (本小题满分12分)设f (x) alnx ( a R),曲线y f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y x b ( b R)(1) 求a、b的值；1(2) 设集合A [1,)，集合B {x| f (x) m(x -) 0}，若A B，求实数m的取值范围.x解析：a(1) f (x) 一，由题设f (1) 1，二a 1，又切点为(1,0)在切线y x b上，二b 1x1 1⑵ f (x) In x , v A B ,••• x 1, , f (x) m(x —)，即 In x m(x —),XX1112 mx xm设 g(x)In x m(x)，即X1, ,g(x)0, g (x)m(1 2)2,XXXX①若m0,g (x)0 ,g(x)在1,上为增函数，g(x)g(1)0 ,这与题设g(x)0矛盾；②若m0方程2 mxx m0的判别式 14m2 ,当 0,即m1时 2时,g (x)0.g(x)在(1,)上单调递减，g(x)g(1) 0,即不等式成1 .. 1 4m22m0,1，⑵ f (x) 3x2 5x a ,由题意知xo2X05 5 一 2令g(x) 2x3 5x2x，则 g (x) 6x25x(2x1)(3x1),所以g(x)在区间(1 1 」，2) ， ( 3，)上是增函数，在(丄，1)上是减函数,2 3g(11)1g( 1)754，当0 m 时，方程 mx2 x m 0，设两根为x1, x2 x1 x2 ，2x2 1 J 4m2 1,2m1 m - 当x (1,x2), g (x) 0 , g(x)单调递增，g(x) g(1) 0，与题设矛盾，综上所述， 2 .6. (本小题满分15分)已知函数f(x) x3 |x2 ax b ( a,b为常数)，其图象是曲线C .(1) 当a 2时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 设函数f (x)的导函数为f (x)，若存在唯一的实数x，使得f (xo) Xo与f (Xo) 0同时成立,求实数b的取值范围；(3) 已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B 处作曲线C的切线12，设切线 m的。