高二数学《基本不等式》教案分析.pdf

高二数学《基本不等式》教案分析 高二数学《基本不等式》教案分析 一、 教材分析 【教材地位及作用】 基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修 5 第 3 章第 3节内容教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一, 为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究 【教学目标】 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标： 知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式； 过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力； 情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】 重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义 难点：利用基本不等式推导不等式 . 关键是对基本不等式的理解掌握. 二、教法分析 本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率． 三、学法指导 新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人 四、教学过程 教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识 具体过程安排如下： （一） 基本不等式的教学设计创设情景，提出问题 设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此, 设置如下情境: 上图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[ 问题 1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系? （让学生分组讨论） ( 二) 探究问题，抽象归纳 基本不等式的教学设计 1 ．探究图形中的不等关系 形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化, 引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.) 数的角度 [ 问题 2]若设直角三角形的两直角边分别为 a 、b,应怎样表示这种不等关系? 学生讨论结果： [ 问题 3]大家看，这个图形里还真有点奥妙我们从图中找到了一个不等式这里 a 、b 的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？ （师生共同探索） 咱们再看一看图形的变化，（教师演示） （学生发现） 当 a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即 .探索结论：我们得到不等式 ，当且仅当 时等号成立 设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计在此基础上，引导学生认识基本不等式 2 ．抽象归纳： 一般地，对于任意实数a,b，有 ，当且仅当a ＝b 时，等号成立 [ 问题 4]你能给出它的证明吗？ 学生在黑板上板书。

[ 问题 5]特别地，当 时，在不等式 中，以 、 分别代替 a 、b ，得到什么？ 学生归纳得出 设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 【归纳总结】 如果 a,b都是非负数，那么 ，当且仅当 a=b时，等号成立 我们称此不等式为基本不等式其中 称为 a,b的算术平均数， 称为 a,b的几何平均数 3 ．探究基本不等式证明方法： [ 问题 6]如何证明基本不等式？ 设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式 方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明 方法二：分析法 要证 只要证 2 要证, 只要证 2 要证, 只要证 显然, 是成立的当且仅当 a=b时, 中的等号成立 4 ．理解升华 1 ）文字语言叙述： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 ）符号语言叙述： 若 ，则有 ，当且仅当 a=b时， [ 问题 7]怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结） “当且仅当 a=b时，等号成立”的含义是： 当 a=b时，取等号，即 ； 仅当 a=b时，取等号，即 。

3 ）探究基本不等式的几何意义： 基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式 的几何解释，通过数形结合，赋予不等式 几何直观进一步领悟不等式中等号成立的条件 如图：AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点， CD⊥AB，AC=a,CB=b， [ 问题 8]你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？ （教师演示，学生直观感觉） 易证ＲtA ＣDＲtD ＣB，那么ＣD2 ＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ . 这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于 CD，即 ，其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式 几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦 （直径是最长的弦） ；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4 ）联想数列的知识理解基本不等式 从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系. [ 问题 9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构？ 归纳得出: 均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项不小它们的等比中项. 基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用 例 1 ：（1 ）设 均为正数，证明不等式： 基本不等式的教学设计 （2 ）如图：AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，设AC=a,CB=b， ，过 作 交 于 ，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗？ 设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式 成立的条件 ，及当且仅当 时，等号成立。

这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结 （五）演练反馈，巩固深化 公式应用之一： 1 ．试判断与 与 2 的大小关系？ 问题：如果将条件“x0” 去掉，上述结论是否仍然成立？ 2 ．试判断 与 7 的大小关系？ 公式应用之二： 设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题, 不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中 (1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以 2 就可以了. 你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了？ (2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销. 甲商场采取的促销方式是在原价p 折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打 折. 对顾客而言，哪种打折方式更合算？(0 ≠q ) （五）反思总结，整合新知： 通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？ 设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点 老师根据情况完善如下： 知识要点： （1 ）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征 （2 ）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义 思想方法技巧： （1 ）数形结合思想、“整体与局部” （2 ）归纳与类比思想 （3 ）换元法、比较法、分析法 ( 七) 布置作业，更上一层 1 ．阅读作业: 预习 基本不等式的教学设计 2 ．书面作业: 已知 a ，b 为正数，证明不等式 基本不等式的教学设计 3 ．思考题: 类比基本不等式，当 a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？ 设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。

阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究 五、评价分析 1 ．在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深 2 ．本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的 六、板书设计 §3.3 基本不等式 一、重要不等式 二、基本不等式 1.文字语言叙述 2.符号语言叙述 3.几何意义 4.代数解释 三、应用举例 例 1 ． 四、演练反馈 五、总结归纳 1.知识要点 2.思想方法 。