数学物理方法第2章.ppt

第二章 复变函数积分,,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.4 柯西公式,2.1 复变函数积分,,,作和,,当n而且每一小段都无限缩短，如果这个和的极限存在，且与k的选取无关，则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作：,2.1 复变函数积分,,设：,即：,上式即是线积分的定义，故：,则：,,例：计算积分,,,,,,,,,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解:,(1),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关,,(2),由:,,例：计算积分,,,,,,,,,,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解,(1),,例：计算积分,,,,,,,,,,,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解,(2),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关,,（一）、单连通区域,证明：,,2.2 柯西定理,如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l，有：,,C.R.条件,得：,推论： 单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关二）、复连通区域,证明：,函数在区域上存在奇点,将这些点挖掉所形成的带孔区域,,l为区域外境界线， li为区域内境界线，积分沿境界线正向进行,,内、外境界线逆时针积分相等,概括起来，柯西定理说的是：,1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分等于零。

2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分等于零3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于所有内境界线逆时针方向积分之和推论：,1）对于区域上的解析函数，只要起点和终点不变，当积分路径连续变形（就是说不跳过孔），函数的路积分值不变2）沿任一闭合路径的积分可以变成一个路径为圆的积分2.3 不定积分,单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关， 令z0固定，终点z 为变点，有单值函数,,z0,B,z,z+z,作图：,即F(z) 是f(z) 的一个原函数,,,,证明：,只要证明F(z)=f(z)即可,,,,又：,由于f(z)在B上连续，对于0，存在0,使得当：,则：,即：,还可证明：,,,例：计算积分,（n 为整数）,,解：n 0 被积函数解析,n < 0 , z= 为 （z- )n 奇点，作小圆C, 在C上,,l,,C,R,,,,,,,,,例：计算积分,结论：,,l 是圆周,(l不包围),(l包围),解：,有两个奇点,,,2.4 柯西积分公式,,若：f(z) 在闭单通区域上解析，l 是闭区域的境界线，是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式,证明：,取小圆 C,f(z) 在闭单通区域上连续，0， f(z) f(),得证,柯西公式可表示为,,,,f(z)在l区域上有奇点，挖去奇点形成复通区域，柯西公式:,l 为所有境界线，方向为正向,,物理意义：一个解析函数f(z)在区域B内的值由它在该区域边界上的值f()所确定,推论：,,对于复通区域，由前述有：,,,证：,我们只证n=1的情形，即：,根据定义：,由柯西公式得：,设后一个积分为I，那么：,积分路径如右图所示,又：,图中d为z到曲线上的最短距离，并取|z|适当地小，使其满足|z|

则：,以此类推，可得：,实质上，上式就是将柯西公式在积分号下对z求导n次例1：计算：,解：,在|z|=2的外部,在|z|=2的内部,在z2上解析,,例2：计算：,,解：,根据柯西定理：,同理可得：,例3：计算：,,l为圆,解：,n 0,n =1,n 1,,,。