河南省郑州市2011-2012学年高二下学期期末考试理科数学试题及答案解析.pdf

1 - 河南省郑州市 2011-2012 学年下期期末试题高二数学（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 用反证法证明“若 ABC 的三边长 , ,a b c 的倒数成等差数列，则 2B ”时， “假设”应为（ ）A. 2B B. 2B C. 2B D. 2B2. 已知随机变量 ~ ,2N ，且 11 2P ，则实数 的值为（ ）A. 1 B. 12 C. 0 D. 2 3. 已知 i 是虚数单位，则复数 11 ii 的共轭复数的虚部是（ ）A. 1 B. 1 C. i D. i4. 在回归模型中，预报变量的值与下列哪些因素有关（ ）A. 受解释变量的影响与随机误差无关 B. 受随机误差的影响与解释变量无关C. 与总偏差平方和有关与残差无关 D. 与解释变量和随机误差的总效应有关5. 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表，则常数 q =（ ）A. 21 2 B. 21 2C. 21 2 D. 226. “因为对数函数 log ay x 在 0, 上是增函数（大前提） ，而 12logy x 是对数函数（小前提） ，所以 12logy x在 0, 上是增函数（结论） ” ，上面推理错误的是（ ）A. 大前提错误导致结论错 B. 小前提错误导致结论错C. 推理形式错误导致结论错 D. 大前提和小前提错误都导致结论错7. 已知 ,x y 的取值如下表，从所得的散点图分析， y 与 x 线性相关，且 ? 0.95y x a ，则 a （ ）A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8 8. 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 1 1 11 2 3 4 ,+ *11 2,2 1n f n n n N 的过程中，由 n k 变到 1n k 时，左边增加了（ ）A. 1 项 B. k 项 C. 12k 项 D. 2k 项X 0 1 2 P 0.5 1 2 p 2qx 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 - 2 - 9. 2010 年 11 月 1 日开始，我国开始了第 6 次全国人口普查，据统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果某个家庭共有了两个孩子，有一个是女孩，则这时另一个孩子是男孩的概率是（ ）A. 13 B. 12 C. 23 D. 3410. 2011 年 11 月 11 日这一天被称为“百年一遇的光棍节” ，因为这一天有 6 个“ 1” ，如果把“ 20111111”中的 8 个数字顺序任意排列，可以组成的八位数为（ ）A. 49 个 B. 36 个 C. 28 个 D. 24 个11. 已知数列 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1, , , , , , , , , ,1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , ，依它的前 10 项的规律，这个数列的第 2012 项 2012a 满足（ ）A. 2012 10 10a B. 20121 110 a C. 20121 10a D. 2012 10a12. 已知函数 1f x 是偶函数，且 1x 时， ' 0f x 恒成立，又 2 0f ，则 1 2 0x f x的解集为（ ）A. , 2 4, B. 6, 1 0,4C. 6, 1 0, D. , 6 4,二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知 i 是虚数单位，则 2 3i i i , 2012i14. 定积分4 21 1 x dx15. 已知函数2f x x x c在 2x 处有极大值，则 c16. 下列数阵称为“森德拉姆筛” ，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字 2012 共出现次。

2 3 4 5 6 7 ,3 5 7 9 11 13 ,4 7 10 13 16 19 ,5 9 13 17 21 25 ,6 11 16 21 26 31 ,7 13 19 25 31 37 ,, , , , , , ,- 3 - 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（ 本大题满分 10 分） 某教授为了研究数学成绩与物理成绩是否相关， 对郑州市某中学高二 （ 1） 班 66名学生的期末考试数学成绩与物理成绩的统计如右表，根据以上数据，该教授能否得出：有 85%的把握认为数学成绩与物理成绩有关？参考数据：2P K k0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：22 n ad bcKa b c d a c c d18.（本大题满分 12 分）已知数列 na 的第 1 项 1 1a ，且 1 1 nnnaaa（ 1,2,3n ,, ）（ I）求 2 3 4, ,a a a 的值，猜想数列 na 的通项公式；（ II ）请证明你的猜想。

19.（本小题满分 12 分）已知 20 cosa xdx，二项式 22nax x 的展开式的各项系数和为 243 （ I）求该二项展开式的二项式系数和；（ II ）求该二项展开式中 4x 项的系数20.（本小题满分 12 分）第 30 届奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行，射击运动员正在积极备战，若某运动员在 1 次射击中成绩为 10 环的概率为 13，该运动员在 4 次射击中成绩为 10 环的次数为 I）求在 4 次射击中恰有 2 次射击成绩为 10 环的概率；（ II ）求在 4 次射击中至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率；（ III ）求随机变量 的数学期望 E （结果用分数表示）- 4 - 21.（本小题满分 12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试中随机抽取 60 名学生的笔试成绩， 按成绩共分成五组： 第 1 组 [75,80) ， 第 2组 [80,85) ， 第 3组 [85,90) ，第 4 组 [90,95) ，第 5 组 [95,100) ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在 85 分以上（含 85分）的学生为“优秀” ，成绩小于 85 分的学生为“良好” ，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格。

I）求出第 4 组的频率，并补全频率分布直方图；（ II ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？（ III ）若该校决定在第 4， 5 组中随机抽取 2 名学生接受考官 A 的面试， 第 5 组中有 名学生被考官 A 面试，求 的分布列22.（本小题满分 12 分）已知函数 lnf x b x ， 2 ,g x ax x a b R（ I）若曲线 f x 与 g x 在公共点 1,0A 处有相同的切线，求实数 ,a b 的值；（ II ）当 1b 时，若曲线 f x 与 g x 在公共点 P 处有相同的切线，求证：点 P 唯一；（ III ）若 0a ， 1b ，且曲线 f x 与 g x 总存在公切线，求正实数 a 的最小值- 5 - 2011— 2012 学年度下期期末考试高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D B A B C C A A C 二、填空题13.0； 14. 2 ； 15.6； 16.2. 三、解答题17. 解：根据列联表中的数据，得到2 2132 60 12 6 542.316 2.072.66 66 114 18n ad bck a b c d a c b d …… 8 分因此，可以认为有 85℅的把握认为数学成绩与物理成绩有关 . …… 10 分18. 解： （Ⅰ ）由 1 1,a 且 1 ( 1,2,3, )1 nnnaa na，得2 3 41 1 1, , .2 3 4a a a 猜想1 ( 1,2,3, ).na nn …… 6 分（Ⅱ ）因为 1 1,a 且 1 ( 1,2,3, )1 nnnaa na ，所以111 1 1nn n naa a a，即11 1 1n na a，因此 1na是以11 1a 为首项， 1 为公差的等差数列，故 1 1 1 ,nn na 即 1 ( 1,2,3, ).na nn …… 12 分19. 解： （Ⅰ ）因为 2 200cos sin sin sin 0 1,2a xdx x …… 2 分所以二项式 22nax x ，即 2 12nx x 的展开式的各项系数和为 243，- 6 - 53 243 3 ,n 5.n …… 4 分该二项展开式的二项式系数和 52 32. …… 6 分（Ⅱ ）52 12xx的展开式的通项是52 5 10 31 5 512 2 0,1,2,3,4,5 .rrr r r rrT C x C x rx …… 8 分根据题意，得 10 3 4, 2.r r …… 10 分因此，该二项展开式中 4x 项的系数是 2 5 25 2 80.C …… 12 分20．解：由题意知，随机变量 服从二项分布，即 1(4, ).3B …… 2 分（Ⅰ ）在 4 次射击中恰有 2 次射击成绩为 10 环的概率为2 2241 1 1 4 82 1 6 .3 3 9 9 27P C …… 4 分（Ⅱ ）记“在 4 次射击中至少有 3 次射击成绩为 10 环”为事件 A ,则3 43 44 41 1 1 13 3 4 1 .3 3 3 9P A = P P P C C …… 8 分（Ⅲ ）因为 1(4, ),3B 所以 1 44 .3 3E …… 12 分21. 解： （Ⅰ ）其它组的频率为（ 0.01+0.07+0.06+0.02） × 5=0.8，所以第四组的频率为 0.2，频率分布图如图： ……3 分（Ⅱ ） 依题意优秀与良好的人数比为 3:2， 所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人，良好 2 人，记从这 5人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 A22251 9( ) 1 ( ) 1 1 .10 10CP A P AC …………6 分（Ⅲ ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为 12 人，第五组的人数为 6 人 的所有可能取值为 0,1,2. 21221822( 0)51CPC ，1 112 621824( 1)51C CPC ，262185( 2) .51CPC ………… 10 分- 7 - 的分布列为 : 0 1 2P 2251 2451 551. ……………… 12分22. 解： （Ⅰ ） xbxf ， 12axxg ．∵ 曲线 xf 与 xg 在公共点 0,1A 处有相同的切线，∴1 ln1 0,1 1 0,2 1.f bg ab a， 解得， 1,1.ab …………………3 分（Ⅱ ）设 0 0,P x y ，则由题设有 0200ln xaxx ， … ①又在点 P 有共同的切线，∴ 00 0 0 20 011' ' 2 12xf x g x ax ax x 代入① 得 .2121ln00 xx . ………5 分设 xxxh2121ln ，则 1 1 02h x xx ，∴ xh 在 ,0 上单调递增，所以 h x ＝ 0 最多只有 1个实根，从而，结合（Ⅰ ）可知，满足题设的点 P 只能是 1,0P . …………………7 分（Ⅲ ）当 0a ， 1b 时， xxf ln ，xxf1 ，曲线 xf 在点 tt ln， 处的切线方程为 txtty1ln ，即 1ln1 txty ．由21 ln 1,,y x tty ax x得 01ln112 txtax ．∵ 曲线 xf 与 xg 总存在公切线，∴ 关于 t 0t 的方程 01ln4112tat ，即 tat ln141。