广西钦州市高新区高三上11月月考数学试卷理科.doc

2017届广西钦州市高新区高三（上）11月月考数学试卷（理科）　一、选择题1．定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（　　）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）=f（x2） D．不能确定2．已知函数f（x）=．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称； ②函数f（x）是周期函数；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点．其中正确命题的序号是（　　）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行x轴，则k=（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　）A． B．2 C．2 D．85．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（　　）A．fB．fC．fD．f大小无法确定6．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（　　）A．[0，） B．[0，） C．（，） D．（，）7．如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（　　）A．2 B．1 C．0 D．﹣18．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．49．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（　　）A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）10．已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x2+y2=b﹣a的面积的最小值是（　　）A．π B．2π C．3π D．4π11．满足 f （ x ）=f′（ x ）的函数是（　　）A．f （ x ）=1﹣x B．f （ x ）=x C．f （ x ）=0 D．f （ x ）=112．已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（　　）A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1　二、填空题13．对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|），如果函数f（x）=ln（e2x），g（x）=3﹣x，那么G（x）=F（f（x），g（x））的最大值为　　．14．设点P是曲线y=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为　　．15．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为　　．16．已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是[2，3]，则实数a=　　．17．若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为　　．　三、解答题18．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求实数a的取值范围．20．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．21．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．　2017届广西钦州市高新区高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题1．定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（　　）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）=f（x2） D．不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）关于直线x=对称，且当x时，f′（x）＞0；当x时，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）在区间上单调性．分类讨论，与，即可得出．【解答】解：∵定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），∴函数f（x）关于直线x=对称．∵（x﹣）f′（x）＞0，∴当x时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减．①若，∵函数f（x）在区间上单调递增，∴f（x2）＞f（x1）．②若，又x1+x2＞1，∴，∴f（x2）＞f（1﹣x1）=f（x1）．综上可知：f（x2）＞f（x1）．故选A．　2．已知函数f（x）=．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称； ②函数f（x）是周期函数；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点．其中正确命题的序号是（　　）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【考点】函数的图象．【分析】研究函数相应性质，逐一判断．【解答】解：函数定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，故①正确；y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即②错误；，，故不是最值，即③错误；因为，当x＞0时，，故，f（x）＜0；当x＜0时，，故，f（x）＞0．即函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点，④正确．故选：C．　3．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行x轴，则k=（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故选：A．　4．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　）A． B．2 C．2 D．8【考点】两点间距离公式的应用．【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出．【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=﹣x2+3lnx，∴，令，又x0＞0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d==2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值==8．故选：D．　5．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（　　）A．fB．fC．fD．f大小无法确定【考点】导数的运算．【分析】设函数h（x）=，求得h′（x）＜0，可得h（x）在R上单调递减，可得h，再进一步化简，可得结论．【解答】解：设函数h（x）=，∵∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则h′（x）=＜0，∴h（x）在R上单调递减，∴h，即＜，即 f，故选：B．　6．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），且a+2b+3c=0，f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是（　　）A．[0，） B．[0，） C．（，） D．（，）【考点】导数的运算；二次函数的性质．【分析】由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x1+x2，x1x2的值，将|x1﹣x2|进行转化即可求出结论．【解答】解：∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∵|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=，又a+2b+3c=0，∴3c=﹣a﹣2b代入上式，得|x1﹣x2|2====（1）2 ，又∵f（0）•f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0即•＞0，∴（a+2b）（2a+b）＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：（+2）（2+1）＜0；∴﹣2＜＜﹣，∴0≤（1）2＜∴|x1﹣x2|∈[0，）．故选：A．　7．如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（　　）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】导数的概念；偶函数．【分析】由函数为偶函数得到f（x）等于f（﹣x），然后两边对x求导后，因为导函数在x=0有定义，所以令x等于0，得到关于f′（0）的方程，求出方程的解即可得到f′（0）的值．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x），此时两边对x求导得：f′（x）=﹣f′（﹣x），又因为f′（0）存在，把x=0代入得：f′（0）=﹣f′（0），解得f′（0）=0．故选C　8．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可。