高考数学第一轮复习导学案：两条直线的位置关系（原卷版+解析）.pdf

第 60讲 两条直线的位置关系知 识 梳 理知识梳理i.斜率存在的两条直线平行与垂直若 1 1：y=k i x+b i，卜：y=k 2 x+b 2 则 h 卜;1 1 12；1 1 与 1 2 重合0.2 .直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线 h：Ai x+Bi y+Ci=0 I 2：A2 x+B2 y+C2=0(其中 A i，Bi 不同时为 0，A 2，B2 不同时为 0),则h LO Ci；li l2O3.两直线的交点直线h：Ai x+Bi y+Ci=0 与 H A2 x+B2 y+C2=0 的公共点的坐标与方程组Ai x+Bi y+C i=0，A2 X+B?y +C2=0的解一一对应.(1)相交;(2)平行0；(3)重合0.4.已知两点P i(x i y i)P2(x2 y2)，则两点间的距离为d=5.设点P(x0，y o)，直线1：A x+B y+C=0(A，B 不同时为0)，则点P到直线1 的距离为d=6.两 条 平 行 直 线 1 1：Ax +By +Ci =0与 12：Ax +By +C2=0(A B不 同 时 为 0)之 间 的 距 离 d7.五种常用对称关系(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为.(2)点(无，y)关于x轴的对称点为,关于y轴的对称点为.(3)点(x,y)关 于 直 线y=x的对称点为，关 于 直 线 j =-x 的对称点为.(4)点(x,y)关 于 直 线x=a的对称点为，关 于 直 线y=b的对称点为(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为真 题 再 现【2 0 2 0 年新课标3 卷文科】点(0,-1)到直线，=左0+1)距离的最大值为()A.1 B.夜 C.6 D.2热 身 训 练1、(2 0 2 2 广东模拟)已知a G R,则直线/i：x+ayT=0与直线(1 一 尤+2 一1=0 平行的充要条件是()A.0 B.=0C.a D.=0 或=T2、（2022 潍坊二模）已知直线/i：x3y=0,/2：x+a y-2=0f若/山2,则的值为（）A.B.1 C.3 D.33、已知点（，2）30）到直线/：xy+3=0 的距离为1,则的值为.4、若直线2xy=-10,y=x+l,2 交于一点，则 4 的值为.典例剖析考向一两条直线的位置关系例 1、（1）已知直线/i：x+2 a y-l=0,%3+l）x冲=0,若hb，则实数。

的值为（）A.-|B.0 C.一|或 0 D.2（2）已知两条直线/i：（a l）x+2 y+l=0,%x+a y+3=0 垂直，则等于（）A.1 B.g C.0 D.0 或g变 式 1、己知直线/：o r+2 y+3=0 和直线L：l）+a21=0.（1）当/1/2时，求实数的值；（2）当/1，/2时，求实数的值.变式2、（1）（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）“3”是“直线o x+y 3=0 与3 x+（a 2）y+4=0平行”的（）A,充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件（2）（2023广东揭阳统考模拟预测）机=-1是直线x+,冲-2 =0 与直线x_y+=0 平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件方法总结：（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.考向二两条直线的交点问题例 2、已知直线y=k x+2 k+与直线y=5+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.变 式 1 三条直线/i：x y=0,L：x+y 2 =0,/3：5x k y 1 5=0构成一个三角形，则k的取值范围是()A.kGR B.k d R 且七 1,kwOC.k G R 且七 5,kw 1 0 D.k G R 且七 5,k w l变式2、求经过直线/i：3尤+2 厂 1=0 和 京 5 x+2 y+l=0 的交点，且垂直于直线如3尤 一 5什 6=0的直线/的方程.方法总结：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标.(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：与直线A x+B y+C=0 平行的直线系方程是A x+B y+m =0(m G R,且 m#C)；与直线A x+8 y+C=0垂直的直线系方程是Bx A y+m =0(mG R)；过直线A：4 x+B i y+j =0与 6A2 x+B2 y+Q =0的交点的直线系方程为4x+Bi y+Ci+MA 2 x+B 2 y+C 2)=0 仇C R),但不包括必考向三两直线及点到直线的距离问题例 3、已知点P(2，-1).(1)求过点P 且与原点距离为2的直线1 的方程.(2)求过点P 且与原点距离最大的直线1 的方程，并求出最大距离.(3)是否存在过点P 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.变 式 1、(2 0 2 2 年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷)若直线/1：x +m y +l =0与/:2 x-y =0垂直，直线。

的方程为2x+2冲+3=0,则4 与4 间的距离为()A 2君 R 475 _ V?N A/55 5 10 5变式2、(1)已知直线1过点P(3,4)且与点A(2,2),点 8(4,2)的距离相等，则直线1的方程为.(2)若两平行直线3x2yl=0,6 x+ay+c=0之间的距离为离里，则 等 的 值 为.变式3、已知直线/经过直线(：2x+y5=0 与直线5x2 y=0 的交点P.(1)若点A(5,0)到直线I的距离为3,求直线I的方程；(2)求点A(5,0)到直线/距离的最大值.方法总结：1.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.2.两平行线间的距离的求法(1)利 用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.考向四直线的对称性例 4、已知直线/：x+2y2=0.(1)求直线/关于点4 1,1)对称的直线方程；(2)求直线/i：y=x2 关于直线/对称的直线h的方程.变 式 1、已知ABC的两个顶点4(1，5)和 2(0,-1),若 的 平 分 线 所 在 的 直 线 方 程 为 2x3y+6=0,则 8 c 边所在的直线方程为；变 式 2、如图，已知点A(4,0),8(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线A 8反 射 后 射 到 直 线 上，再经直线O B反射后又回到点P,则 光 线 所 经 过 的 路 程 是.变式3、已知直线/：2 x3 y+l=0,点A(1,2).求：点 A 关于直线I的对称点4 的坐标；(2)直线m：3无 一2y6=0 关于直线I的对称直线次的方程;(3)直线/关于点4(1,2)对称的直线7的方程.方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程.通常情况下会用到两直线的交点.优 化 提 升1、(2022 武汉部分学校9 月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为尤+2 y+l=0 和 x+2 y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3元-4y+q=0,3X-4J+C2=0,则 一。

21 =A.2小 B.2小 C.2 D.42、(2022 湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知两点A(l,2),3(3,6),动点在直线V=x 上运动，则+的最小值为()A 275 B.726 C.4 D.53、(2020山东高三开学考试)已知m e R,过定点A 的动直线如+丁=和过定点3 的动直线X 7犯一根+3=0 交于点p,贝+6 1 P B i的取值范围是(A.（7W,2A/W B.（VI0,A/30C.即,而）D.4、（2023江苏南京南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）已知直线4：2x+y-6=0 和点A（1,T）,过点A作直线4 与直线乙相交于点8,且|A到=5,则直线4 的方程为（）A.x=1B.y=TC.3%+4y+l=0 D.4x+3y-l=05、（2022苏州模拟）已知直线/i：axy+l=0,h：x+ay+l=0,q R,以下结论不正确的是（）A.不论为何值时，/i与/2都互相垂直B.当变化时，/1与/2分别经过定点A（0,D和 3（1,0）C.不论为何值，/i与/2都关于直线x+y=0 对称D.如果/1与/2交于点M，为坐标原点，则阿的最大值是世6、定义点P（x o,州）到直线/：Qx+Z?y+c=0（/+/?2W 0）的有向距离为d=xo+Z?yo+cy/cr+b2E 知点P1，尸 2到直线/的有向距离分别是4,d2.以下命题正确的是（）A.若 d l=d 2=l,则直线尸1 尸 2与直线/平行B.若山=1,d2=l,则直线P1P2与直线/垂直C.若加+2=0，则直线P1P2与直线/垂直D.若 公，W 0,则直线尸1 尸 2与直线I 相交第 60讲 两条直线的位置关系知识梳理知识梳理i.斜率存在的两条直线平行与垂直若 1 1：y=kix+bi，b：y=k2 x+b2 则 h 1 2 0 kl=k2，b|#6 2；l i 1 2 ki,k2 =1；l i 与 b 重合O ki=k2 bi=b2.2.直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线 h：A i x+B i y+G=0 12：A2 x+B2 y+C2=0(其中 A i，Bi 不同时为 0，A2，B?不同时为 0)，则1I L O AIB2=A2 BI 且 AIC 2#A 2 G；l iJ _ bO AiA2+BiB2=0.3.两直线的交点直线h：Aix+Biy+Ci=O与卜：A2 x+B?y+C2=0 的公共点的坐标与方程组(Aix+Biy+Ci=O，,的解-对应.A2 x+B2y+C2=0(1)相交O方程组有一组解；(2)平行O方程组无解；(3)重合O方程组有无数组解.4 .已知两点 P i(x i yO P2(x2,y2),则两点间的距离为(x ix2)2+(yjy2)2.5 .设点P(x0-yo)，直线1：A x+B y+C=O(A，B 不同时为0)，则点P到直线1 的距离为d=|Ax p+Byo+C|/A2+B2 i/i_ I7.两条平行直线h：A x+B y+C i=O 与 12：A x+B y+C2=0(A，B 不同时为0)之间的距离d=F=./A2+B27.五种常用对称关系(1)点(%,y)关于原点(0,0)的对称点为(一 ,y).(2)点(%,y)关于x轴的对称点为(%,y),关于y 轴的对称点为(一x,y).(3)点(%,y)关于直线y=x 的 对 称 点 为x),关于直线y=兀的对称点为(一y,x).(4)点(x,y)关 于 直 线 的 对 称 点 为(2-x,y),关 于 直 线 的 对 称 点 为(x,2 by).(5)点(%,y)关于点(m b)的对称点为(2 一 羽 2 5 y).真题再现【2 0 2 0 年新课标3 卷文科】点(0,-1)到直线y=%(x+l)距离的最大值为()A.1 B.y/2 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点尸(T,。

)，设A(0,-l),当直线y=-x +l)与A P 垂直时，点A 到直线y=Mx+l）距离最大，即可求得结果.【详解】由y=k（x+V）可知直线过定点尸（T O）,设4（0,-1）。