《随机试验样本空间》PPT课件.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论的产生和发展概率论的产生和发展 ------------““赌博起家赌博起家”的理论的理论 u1717世纪中叶，保险业的发展提出了一系列随机性问题世纪中叶，保险业的发展提出了一系列随机性问题 u 赌徒问题：赌徒问题： 16541654年，一赌徒问帕斯卡：若约定先年，一赌徒问帕斯卡：若约定先赢赢C C局者胜，当甲、乙两人各赢局者胜，当甲、乙两人各赢 a a、、b b 局时（局时（ a、、b < C ），如何分赌本？），如何分赌本？ u 帕斯卡与费尔玛经通信研究回答了该问题，并进一帕斯卡与费尔玛经通信研究回答了该问题，并进一步提出了数学期望这一重要概念步提出了数学期望这一重要概念 u 三年后，惠更斯写出了三年后，惠更斯写出了《《论机会游戏的计算论机会游戏的计算》》 －－－－－－最早的概率论著作－－－－－－最早的概率论著作 概率论的产生和发展概率论的产生和发展 u 在古典向近代的转变过程中，在古典向近代的转变过程中，LaplaceLaplace的的《《分析概分析概 率论率论》》(1812)(1812)给出了概率的明确定义；给出了概率的明确定义； 证明了证明了De De MoivreMoivre——LaplaceLaplace定理；定理； 建立了误差观察理论与最小二乘法；建立了误差观察理论与最小二乘法； 系统阐述了概率论的一些基本理论。

系统阐述了概率论的一些基本理论 u 近几十年发展迅猛，出现了很多以概率论为基础的近几十年发展迅猛，出现了很多以概率论为基础的 学科，学科，如信息论、控制论、博弈论如信息论、控制论、博弈论 …… u其后，贝努利、雅可比、棣莫弗　其后，贝努利、雅可比、棣莫弗　…… 贡献突出贡献突出第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第一节第一节 随机实验随机实验 （（1）掷一枚硬币）掷一枚硬币1万万次次, 正面向上的可能性如正面向上的可能性如何描述呢何描述呢? 是不是有一定的规律呢？是不是有一定的规律呢？ （（2 2））什么是随机试验什么是随机试验? ? 它和我们平它和我们平常说的实验有什么不同？常说的实验有什么不同？要求的条件是什要求的条件是什么么? ? 一、问题提出一、问题提出（一）两类现象（一）两类现象————确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象 先从实例来分析自然界和社会活动中存先从实例来分析自然界和社会活动中存在着两类不同的现象在着两类不同的现象. . 例例1 1 在一个标准大气压在一个标准大气压力下力下, ,水加热到水加热到100℃就沸腾就沸腾. 例例2 2 向上抛掷向上抛掷1010次五分次五分硬币硬币, ,硬币往下掉硬币往下掉. . 例例3 3 同性电荷相斥同性电荷相斥, ,异性电荷相吸异性电荷相吸. .例例1 1、例、例2 2、例、例3 3是在是在一定条件下必然发一定条件下必然发生的现象生的现象 二、问题分析二、问题分析 我们把这种在保持条件不变的情况下我们把这种在保持条件不变的情况下, , 进行重复试验或观察进行重复试验或观察, ,其结果总是确定的现其结果总是确定的现象称为象称为确定性现象确定性现象或或必然现象必然现象. . 例例4 4是在一定条件下必是在一定条件下必然不可能发生的现象然不可能发生的现象 例例4 4 在一个标准大气压力下在一个标准大气压力下,20℃,20℃的水的水结冰结冰. . 另外另外, ,在我们所生活的世界在我们所生活的世界上还充满了不确定性上还充满了不确定性. . 例例5 5 用大炮轰击某一确定目标用大炮轰击某一确定目标, ,其结其结果可能是击中目标果可能是击中目标, ,也可能击不中目标也可能击不中目标. . 例例6 6 在相同条件下在相同条件下, ,抛一枚质地均匀的硬抛一枚质地均匀的硬币币, ,其结果可能正面向上其结果可能正面向上, ,也可能反面向上也可能反面向上. 例例7 7 在合格品率为在合格品率为98%的产品中任取一件的产品中任取一件产品产品, ,取到的可能是合格品取到的可能是合格品, ,也可能是不合格品也可能是不合格品. . 对于例对于例5 5～例～例7 7所表述的现象进行归纳所表述的现象进行归纳分析分析, ,可以看出：发生的结果预先可知但事可以看出：发生的结果预先可知但事先又不能完全确定先又不能完全确定. .我们把这种在保持条件我们把这种在保持条件不变的情况下不变的情况下, ,重复试验或观察重复试验或观察, ,可能出现可能出现这种结果这种结果, ,也可能出现那种结果的现象称为也可能出现那种结果的现象称为随机现象随机现象. .  对于随机现象对于随机现象, ,人们经过长期地观察或人们经过长期地观察或进行大量的试验进行大量的试验, ,分析表明：这些发生结果分析表明：这些发生结果并非是杂乱无章的并非是杂乱无章的, ,而是有规律可寻的而是有规律可寻的. . 在在大量地重复试验或观察中所呈现出大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性的固有规律性, ,就是我们所说的就是我们所说的统计规律性统计规律性. .而而概率论与数理统计概率论与数理统计正是研究和揭示随机正是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科现象统计规律性的一门数学学科.  概率论与数理统计的关系概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础概率论是数理统计的理论基础. .由于随机由于随机现象的普遍性现象的普遍性, ,使得概率论与数理统计具有极使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用其广泛的应用. .例如例如, ,使用概率统计的方法可使用概率统计的方法可以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检验等验等. .另一方面另一方面, ,广泛的应用也促进了概率论广泛的应用也促进了概率论与数理统计的极大发展与数理统计的极大发展. . ( (二二) ) 随机试验随机试验 在一定条件下在一定条件下, ,对自然现象和社会现象对自然现象和社会现象进行的进行的实验或观察常常称为试验实验或观察常常称为试验, ,常用常用E表示表示. . 例例8 8 E1: :将质地均匀的一枚硬币投将质地均匀的一枚硬币投掷一掷一 次次, ,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况. . 例例9 9 E2: :掷一颗质地均匀的骰子掷一颗质地均匀的骰子, ,观察出观察出现的点数现的点数. . 例例1010 E3: :在一批灯泡中任意抽在一批灯泡中任意抽取一只取一只, ,测试其寿命测试其寿命. .上述试验均具有以下上述试验均具有以下三个特点三个特点：(1)(1) 试验可以在相同条件下重复进行试验可以在相同条件下重复进行; ; （（2 2）试验的所有可能结果是事先明确可知）试验的所有可能结果是事先明确可知 的的, ,并且不止一个并且不止一个; ; （（3））每次试验之前不能确定哪一个结果每次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 我们把具有上述三个特点的试验我们把具有上述三个特点的试验, ,称为称为随机试验随机试验, ,也简称为也简称为试验试验. 随机试验是一个含义较广的术语随机试验是一个含义较广的术语, ,它包它包括对随机现象进行观察、测量、记录或进括对随机现象进行观察、测量、记录或进行科学实验等行科学实验等. . 我们以后提到的试验都我们以后提到的试验都是是指指随机试验随机试验. ( (一一) )随机试验随机试验什么是随机试验什么是随机试验? ? 要求的条件是什么要求的条件是什么? ?三、内容小结三、内容小结（（1 1））试验可以在相同条件下重复进行试验可以在相同条件下重复进行; ; （（2 2））试验的所有可能结果是事先明确可试验的所有可能结果是事先明确可知的知的, ,并且不止一个并且不止一个; ; （（3 3））每次试验之前不能确定哪一个结果每次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. .第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第二节第二节 样本空间及随机事件样本空间及随机事件一、提出问题一、提出问题 1. 随机试验的结果可知但不确定，怎样随机试验的结果可知但不确定，怎样来研究它来研究它？？我们所关心某个或某些结果是我们所关心某个或某些结果是否会出现？出现的可能性的大小？否会出现？出现的可能性的大小？二、预备知识二、预备知识1.1.集合与元素，全集，空集集合与元素，全集，空集. .2.2.集合运算及其运算性质集合运算及其运算性质. . 2. 试验结果复杂多样，如何研究他们试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？之间的关系？三、分析问题三、分析问题 对对于随机试验于随机试验, ,人们感兴趣的是试验结果人们感兴趣的是试验结果, , 即每次随机试验后所发生的结果即每次随机试验后所发生的结果. . 将将随机试验的每一个可能的结果称为随随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的一个机试验的一个样本点样本点, ,通常记作通常记作ω. . 将将随机试验随机试验E的所有样本点组成的集合的所有样本点组成的集合叫做试验叫做试验E的的样本空间样本空间, ,通常用字母通常用字母S表示表示. .由由一个样本点一个样本点ω组成的单点集组成的单点集{ {ω} }叫做叫做基本事基本事件件. ( (一一) ) 样本空间与随机事件样本空间与随机事件  例例1 1 E1: :将质地均匀的一枚硬币投掷一次将质地均匀的一枚硬币投掷一次, ,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况. .“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上”是是E1的样本点的样本点, ,所以样本空间可简记为所以样本空间可简记为S={={正正, ,反反}.}. 例例2 2 E2: : 掷一颗质地均匀的骰子掷一颗质地均匀的骰子, ,观察出观察出现的点数现的点数. .“出现出现i点点” (i=1,2,…,6)是是E2的样本点的样本点, ,所以所以样本空间可简记为样本空间可简记为S={1,2,……,6}. 例例3 3 E3: :在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试测试其寿命其寿命. . “测得灯泡寿命为测得灯泡寿命为t小时小时(0≤t＜＜+∞)”是是E3的样本点的样本点, 所以样本空间可表示为所以样本空间可表示为S={t|0≤t＜＜+∞}. 例例4 4 E4 4: :一袋中装有红白两种颜色的一袋中装有红白两种颜色的1010只只乒乓球乒乓球, ,从袋中任意抽取从袋中任意抽取1 1只球只球, ,观察其颜色观察其颜色. . 令令ω1=“取得红球取得红球”, ,ω2=“取得白球取得白球”, , 则样本空间则样本空间S={ω1,ω2}.  例例5 E5: 将将质质地地均均匀匀的的一一枚枚硬硬币币投投掷掷两两次次,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况. 试验试验E5的全部样本点是：的全部样本点是：(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反).其中其中(正正,正正)表示表示“掷第一次硬掷第一次硬币正面朝上币正面朝上,掷第二次硬币正面朝上掷第二次硬币正面朝上”,依此依此类推类推.则样本空间则样本空间S={(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反)}.  从上面例从上面例1 1～例～例5 5可以看到可以看到, ,样本空间可以样本空间可以是有限集或无限集是有限集或无限集, ,可以是一维点集或多维点可以是一维点集或多维点集集, ,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域区域. .有时候有时候, ,为了数学处理方便为了数学处理方便, ,还可以把样还可以把样本空间作相应扩大本空间作相应扩大. .例如例如, ,在例在例3 3中可以取中可以取S=[0,+∞),若有必要若有必要, ,甚至可以取成甚至可以取成 (- -∞,+∞). 人们人们常用数字或者符号常用数字或者符号来表示具有实际来表示具有实际 意义的试验结果意义的试验结果. . 例例6(Ex.) 写出下列随机试验的样本空间：写出下列随机试验的样本空间：(1)生产产品直到有生产产品直到有10件正品件正品,记录生产产品的总件数记录生产产品的总件数;(2)将一只一尺长的尺子折成将一只一尺长的尺子折成3段段,观察各段长度观察各段长度 ；；(3)对某工厂的产品进行检查对某工厂的产品进行检查,如连续查出如连续查出2个次品或检个次品或检查查4个产品后就停止检查个产品后就停止检查,记录检查结果记录检查结果. 我们称样本空间我们称样本空间S中满足某些条中满足某些条件的样本点构成的子集为件的样本点构成的子集为随机事件随机事件, ,简称简称事件事件. .通常用通常用A,B,C,…表示表示. .若试若试验后的结果验后的结果ωω∈∈A, ,则称事件则称事件A发生发生, ,否否则称则称A不发生不发生. .  样本空间样本空间S也是它自己的子集也是它自己的子集, ,因而也是因而也是事件事件, ,它叫它叫必然事件必然事件; ; 空集空集 中不含中不含S的任何的任何元素元素, , 它叫它叫不可能事件不可能事件. . 讲评讲评: :必然事件和不可能事件所反映的必然事件和不可能事件所反映的现象是确定性现象现象是确定性现象, ,并不具有并不具有“随机性随机性”, ,为为了研究问题的方便了研究问题的方便, ,我们把它们分别看作一我们把它们分别看作一种特殊的种特殊的“随机事件随机事件”. .  例如例如, ,在例在例2 2中中, ,设设A表示表示{ {掷一枚骰子掷一枚骰子, , 出现的点数出现的点数≤≤6},6},则则A=S是必然事件；设是必然事件；设B表示表示{ {出现出现8 8点点},},则则B是空子集是空子集, ,因而是不可因而是不可能事件能事件; ; 设设C表示表示{ {出现偶数点出现偶数点},},则则C={2,4,6},={2,4,6},若实际掷出若实际掷出“2 2点点”, ,我们便说事我们便说事件件C发生了发生了; ;设设D表示表示{ {出现出现2 2点点},},则则D={2}={2}是是基本事件基本事件. .( (二二) ) 随机事件与集合的对应随机事件与集合的对应 例例7 7 E6: 一盒子中装有标号为一盒子中装有标号为1 1到到1010的的1010只球只球. .从盒中任意抽取从盒中任意抽取1 1只球只球, ,观察其点数观察其点数. . 全部基本事件是：全部基本事件是：{ {抽到抽到1 1号球号球},{},{抽到抽到2 2号球号球},{},{抽到抽到3 3号球号球},},……,{,{抽到抽到1010号球号球}.}. 样本空间样本空间S={1={1号球号球,2,2号球号球, ,……,10,10号球号球}, }, 通常简记为通常简记为S={1,2,={1,2,……,10}.,10}. 随机事件随机事件A={={抽到偶数号球抽到偶数号球} }由由5 5个基本个基本事件事件——{ {抽到抽到2 2号球号球},{},{抽到抽到4 4号球号球},{},{抽到抽到6 6号球号球},{},{抽到抽到8 8号球号球},{},{抽到抽到1010号球号球} }组成组成, ,记为记为A={2,4,6,8,10}.={2,4,6,8,10}. 随机事件随机事件B={={抽到不大于抽到不大于6 6的偶数号球的偶数号球} }由由3 3个基本事件个基本事件—{ {抽到抽到2 2号球号球},{},{抽到抽到4 4号球号球},{},{抽抽到到6 6号球号球} }组成组成. .通常也简明地表示成通常也简明地表示成B={2,4,6}. ={2,4,6}. 随机事件随机事件C={={抽到奇数号球抽到奇数号球}={1,3,5,7,9}.}={1,3,5,7,9}. 随机事件随机事件D={={抽到球号数不大于抽到球号数不大于4}4}={1,2,3,4}.={1,2,3,4}. 如果我们现在抽到如果我们现在抽到6 6号球号球, , 则说事件则说事件A发生发生, ,事件事件B发生发生. .但是但是, ,事件事件C和和D不发生不发生. . 将不能再细分的试验基本结果看作将不能再细分的试验基本结果看作样样本点本点;而样本点看作集合的而样本点看作集合的元素元素；； 全部基本结果构成全部基本结果构成样本空间样本空间; ;而样本空而样本空间看作间看作全集全集；； 将将随机事件随机事件表示成由样本点组成的集合表示成由样本点组成的集合; ;或者说，看作全集的或者说，看作全集的子集子集；； 基本事件基本事件是由一个样本点组成的是由一个样本点组成的单元集单元集; 必然事件必然事件看作看作全集全集, ,不可能事件不可能事件看作看作空集；空集； 将样本点将样本点( (元素元素) )属于集合表示属于集合表示事件发生事件发生, ,  这样的处理方法这样的处理方法, ,不仅对研究事件的关不仅对研究事件的关系和运算是方便的系和运算是方便的, ,而且对研究随机事件发而且对研究随机事件发 生的可能性大小的数量指标生的可能性大小的数量指标——— 概概率的运算也是非常科学合理的率的运算也是非常科学合理的. . 就可就可以以将事件间的关系和运算归结为集合将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算之间的关系和运算. . ( (一一) ) 事件之间的关系与运算事件之间的关系与运算 在一个样本空间在一个样本空间S中中, ,可以包含许多的随可以包含许多的随机事件机事件. .研究随机事件的规律研究随机事件的规律, ,往往是通过对往往是通过对简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的规律规律. . 为此为此, ,我们引进事件之间的一些重要关我们引进事件之间的一些重要关系和运算系和运算. .由于任一随机事件是样本空间的由于任一随机事件是样本空间的子集子集, , 所以所以事件之间的关系及运算与集合之事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是完全类似间的关系及运算是完全类似的的. . 四、建立理论四、建立理论平面矩形区域表示平面矩形区域表示样本空间样本空间S, ,平面区域平面区域A表示事件表示事件A.文氏图文氏图 ( Venn diagram ) AS 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S, A1,A2,…,Ak (k=1,2,…)是是S的一些事件的一些事件, ,它们都是它们都是S的子集的子集. . 与集合论类似与集合论类似, ,我们习惯地用文氏图形像我们习惯地用文氏图形像地描述事件间的关系地描述事件间的关系. . 若若“事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生”, ,亦亦即即A的样本点都是的样本点都是B的样本点的样本点, ,则称则称A包含于包含于B或或B包含包含A, ,也称也称A是是B的的子事件子事件 .B S (1) (1) 事件的事件的包含与相等包含与相等则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等, ,记做记做A=B等价于它们是由相同的样本点构成的等价于它们是由相同的样本点构成的. . 如果有如果有且且 注意注意 对任一事件对任一事件A, 都都有子事件关系有子事件关系 记做记做 “事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生”的事件的事件 叫做叫做A与与B的的和事件和事件. .的的和事件和事件 的的和事件和事件 (2) (2) 事件的和事件的和( (并并) ) 可见可见, ,A∪∪B是由所有是由所有包含在包含在A中的或包含在中的或包含在B中的样本点构成中的样本点构成. 或或BA记做记做B.A+ “事件事件A与事件与事件B 同时发生同时发生”，这样的事件，这样的事件称为称为A与与B的的积事件积事件. .的的积事件积事件 —— (3) (3) 事件的交事件的交( (积积) ) AB由既包含在由既包含在A中又包中又包含在含在B中的样本点构成中的样本点构成. . 的的积事件积事件 —— 或或记作记作  ““事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生”，这样的事件，这样的事件称为称为A与与B的差事件的差事件. . （（4 4）） 事件的差事件的差记为记为A–B. . A- -B是由所有包含是由所有包含在在A中而不包含在中而不包含在B中中的样本点构成的样本点构成. . 例如例如, ,若若A={2,4,6,8,10},B={1,2,3,4},则则A- -B={6,8,10}, B- -A={1,3}. ——A与与B互斥互斥A、、B不可能同时不可能同时发生发生. .两两互斥两两互斥两两互斥两两互斥 (5) (5) 事件的事件的互不相容互不相容( (互斥互斥) ) ——A与与B互相对立互相对立称称B为为A的的对立事件对立事件(or逆事件逆事件)，记为，记为 注意注意 “A与与B 互相对立互相对立”与与“A与与B 互互斥斥”是不同是不同的概念的概念. .(6)(6)对立事件对立事件( (逆事件逆事件) )每次试验，每次试验，A，，B中有中有且只有一个发生且只有一个发生. . (7) (7) 完备事件组完备事件组或称或称 为为S的的一个一个划分划分( (或或剖分剖分).).若若 两两互斥两两互斥 ,且且则称则称 为为完备事件组完备事件组. 讲评讲评 完备事件组完备事件组A1,A2,…,An概念说明概念说明: 在每次试验中在每次试验中,事件事件A1,A2,…,An中有一个中有一个发生发生, , 并且只有一个发生并且只有一个发生. .建立这个概念的建立这个概念的目的目的是是, , 把错综复杂的关系分解成彼此没把错综复杂的关系分解成彼此没有影响的各种基本因素之和有影响的各种基本因素之和. .概念的关键是概念的关键是: :事件交为不可能事件，同时，事件和为必事件交为不可能事件，同时，事件和为必然事件然事件. . 有限样本空间的所有基本事件构成一有限样本空间的所有基本事件构成一个完备事件组个完备事件组, ,即是样本空间的一个划分即是样本空间的一个划分. . ( (二二) )事件运算法则事件运算法则对应事件运算集合运算 (1)(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律B CAA CBA 分配律 图 示A＝ 讲评讲评 对偶律通常叫做德对偶律通常叫做德··摩根律摩根律. . 在在一起处理关于和事件、积事件和对立事件一起处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到三种关系时经常会使用到. .五、理论应用五、理论应用 (4)(4)互反律互反律(5)(5)对偶律对偶律 例例8 掷一颗骰子的试验掷一颗骰子的试验, 观察出现的点数观察出现的点数. 事件事件A表示表示{出现奇数点出现奇数点},B表示表示{出现点数小于出现点数小于5}, C表示表示{出现小于出现小于5的偶数点的偶数点}. 用集合的列举用集合的列举法表示下列事件：法表示下列事件：S, A, B, C, A∪∪B, A- -B, AB, AC, , 解解 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 2, 3, 4}, A={1, 3, 5},C={2, 4}, A∪∪B={1, 2, 3, 4, 5}, A-B={5}, AB={1, 3},={1, 2, 3, 4, 6}. AC= ,例例9 设设A,B,C是三个事件是三个事件,用用A, B, C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：(1)B,C都发生都发生,而而A不发生；不发生；(2)A,B,C中至少有一个发生；中至少有一个发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；中恰有一个发生；(4)A,B,C中恰有两个发生；中恰有两个发生；(5)A,B,C中不多于一个发生；中不多于一个发生；(6)A,B,C中不多于两个发生中不多于两个发生.A∪B∪C 或或 讲评讲评 本例旨在在基本概念方面考查事件的本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述与数学符号描写的对应关系文字表述与数学符号描写的对应关系.  例例10 事件事件Ai表示某射手第表示某射手第i次次(i=1,2,3)击中击中目标目标,试用文字叙述下列事件：试用文字叙述下列事件： (1) A1∪∪A2; (2) A1∩A2∩A3; (3) (4) A2- -A3; (5) ; (6)(6) (1)(1)A1 1∪∪A2 2表示前二次射击中至少有一表示前二次射击中至少有一次击中目标；次击中目标； 解解 (2) (2) A1 1∩A2 2∩A3 3表示三次射击中全部击中表示三次射击中全部击中目标；目标； (3) (3) 表示第三次射击未击中目标；表示第三次射击未击中目标；  (6)(6) , ,表示前两次射击中至少表示前两次射击中至少有一次未击中目标有一次未击中目标. . 讲评讲评 在基本概念方面应考虑数学符号的在基本概念方面应考虑数学符号的文字表述含义文字表述含义. . (5)(5) , 表示后两次射击均未击表示后两次射击均未击中目标；中目标； , ,表示第二次射击击中目标表示第二次射击击中目标 而第三次射击未击中目标；而第三次射击未击中目标； (4(4) ) A2- -A3=A2例例11(Ex.) 设设A、、B、、C为三个事件，用为三个事件，用A、、B、、C表示下列事件：表示下列事件：(1)A出现出现,B、、C不不出现；出现；(2)三个事件都出现；三个事件都出现；(3)三个事件至少有一个出现；三个事件至少有一个出现；(4)不多于一个事件出现；不多于一个事件出现；(5)A ,B至少发生一个至少发生一个, C不出不出现；现；(6)恰好有二个事件出现恰好有二个事件出现.例例12(Ex.) 同时掷两个同时掷两个骰骰子，记事件子，记事件A为为“两两骰骰子点数和为奇数子点数和为奇数”；；事件事件B 为为“两两骰骰子点数差子点数差为零为零” ；事件；事件 C为为“两两骰骰子点数的积不超过子点数的积不超过20” 。

 思考问题思考问题：： 由事件间的关系与运算由事件间的关系与运算,一个复合事件的一个复合事件的表示方式是否唯一表示方式是否唯一?如何分解更为有用？如何分解更为有用？ 考虑考虑B= AB ∪∪(B－－A),且有且有 AB(B－－A)= ；； 对任意事件对任意事件A,B, 成立关系：成立关系： A∪∪B =A∪∪(B－－AB)(参见图参见图1-2),且有且有 A(B－－AB) = .七、习题布置七、习题布置P10：：1、、2、、3、、4. 。