哥德尔不完全性定理.ppt

哥德尔不完全性定理 第一讲 哥德尔不完全性定理的背景、内容和影响第二讲 哥德尔第一不完全性定理和第二不完全性定理的证明 哥德尔不完全性定理的背景、内容和影响 哥德尔其人 哥德尔不完全性定理的背景 哥德尔不完全性定理内容及其证明的直观描述 哥德尔不完全性定理的挑战性影响  哥德尔是20世纪最伟大的数学家和逻辑学家之一 在逻辑学中的地位，一般都将他与亚里士多德和莱布尼兹相比；在数学中的地位，爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学的贡献视为同类1952年6月美国哈佛大学授予哥德尔荣誉理学学位时，称他为“20世纪最有意义的数学真理的发现者” 在哥德尔所发现的被称为“20世纪最有意义的数学真理”当中，最杰出，最具有代表性、最有震撼力的是哥德尔不完全性定理 哥德尔第一不完全性定理 一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的，则是不完全的。

其直观意思大致可以这样描述： 一个理论，如果具备足够的表达能力和推理能力，那么，只要它不会证明自相矛盾的结论，就必然存在某种真理，它不可能证明 一个人，如果说的都是真话，那么，必定并非所有的真话他都能说（即总有真话他不能说） 哥德尔第二不完全性定理 一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的，则这种一致性在该系统内不可证明其直观意思大致可以这样描述： 一个理论，如果不自相矛盾，那么这种不自相矛盾的性质在该理论中不可证 一个人，如果始终如一，从不自相矛盾，那么，他必定无法说明，自己为什么会具备这种品质 曾有人问哥德尔，是否可以将不完全性定理推广到数学以外，哥德尔尝试给出了一个自己认为合理的表述： 一个处处按统一法则行事的社会，就其行为而言，或者是不一致的，或者是不完全的，即无力解决某些可能是极端重要的问题当社会面临困难处境时，这两者都会危及社会的生存 哥德尔定理是一种特殊的数学命题，称为元数学命题 什么是元数学？ 什么是元逻辑？ 或者一般地，什么是元理论？ 科学的严格的元理论，何以成为可能？ 元理论 对象理论 对象 这应当是科学理论的理想结构模式 （逻辑）元理论的目标：分析和论证对象理论的 元逻辑性质，最重要的是可靠性、一致性和完全 性，以及独立性和可判定性等。

元理论必须比对象理论丰富一般地，一个对象 理论不能同时成为自己的元理论 科学元理论的前提：对象理论的足够严格 数理逻辑为数学和逻辑建立了严格的元理论，其前提是，它为逻辑和数学建立了最为严格的对象理论 在抽象性和严格性上达到极致的理论形态：形式系统 非公理系统科学 科学知识 理论 实质公理系统 公理系统 形式公理系统 （形式系统） 科学知识和科学理论的区别是什么？ 非公理系统和公理系统的区别是什么？ 实质公理系统和形式系统的区别是什么？ 构造形式系统的目的和意义何在？ 什么是公理化 科学理论的“内在循环”公理化方法的两个要点 公理的古典含义和现代含义 什么是形式化 非形式的、形式的和形式化的 形式化方法和形式系统 形式化方法的两个要点 语法和语义 对象理论和元理论 形式化和公理化 形式化的意义  形式系统的语法 符号库 形式语言 形成规则 形式系统 公理 演绎结构 推导规则 “可证”—— 核心语法概念形式系统的极端抽象性 形式系统的语法理论只涉及符号与符号之间的关系，不涉及符号的意义。

 形式系统的极端严格性 能行方法 形式系统的极端严格性：任给一个符号，可以能行地判定是否为系统中的符号；任给一个符号串，可以能行地判定是否为系统中的公式；任给一个系统中公式，可以能行地判定是否为系统中的公理；任给一个系统中公式序列，可以能行地判定是为系统中的一个证明 形式系统的语义 形式系统的语义理论的目标 “真”—— 核心语义概念 同一形式系统的不同语义解释 形式系统的元理论 可靠性 一致性 完全性 可判定性 独立性 形式化的重要概念 对象语言和元语言 对象理论和元理论 语法和语义 系统内的证明和关于系统的证明 内定理和元定理 构造形式系统的意义，或者说形式化方法的意义在于： 第一，使系统内的推导和论证的严格性达到了极致； 第二，使区分对象理论和元理论，建立严格的元理论成为可能。

 在几乎所有的科学理论中，只有形式化的数理逻辑把自己的理论明确区分为两个部分：对象理论和元理论 一个系统的元理论要解决的两个最基本的问题是：第一，这个系统是否一致？即是否不矛盾，是否能确保两个互相矛盾的命题在系统中不都可证？第二，这个系统是否完全？即相关的真理（真命题）在系统中是否都可证？ 一致性有关一个理论能否成立，显然，一个不一致，即自相矛盾的理论，不可能是科学理论；而完全性有关一个理论证明相关真理的能力及其限度 也就是说，数理逻辑作为科学理论，具有一个极其鲜明的特点：它在构造自己以说明思维或数学的规律的时候，首先极其负责地审视自己：自己是否一致？如果是的话，如何证明？自己是否有足够的能力把握思维和数学领域中的所有真理？如果是的话，如何证明？如果不是的话，这种能力的限度在哪里？如何证明？ 数理逻辑的这种“责任心”不是 自发地产生的，而是科学发展的 实践“迫使”它具备的 问题最早源于2000多年前的欧氏几何… 令人不放心的欧氏几何第五条公理。

取消公理五的公理资格，证明它！ 世纪努力的失败：直接证明走不通18世纪：反证！无意中构造了一个非欧几何：构造它的目的是为了从中推出矛盾，即通过证明非欧几何的不一致，在欧氏几何中完成对第五公理的证明 非欧几何：怪诞  矛盾 思维急转弯：非欧几何是否可能不矛盾？ 这时，一个出乎数学家们意料的结论被证明了：欧氏几何和自然数算术与非欧几何在一致性上是等价的！ 就是说，如果欧氏几何或自然数算术是不矛盾的，则非欧几何也是不矛盾的；也就是说，如果“怪诞的”非欧几何是自相矛盾的，则欧氏几何和自然数算术也是自相矛盾的！而人们构造非欧几何的目的，正是试图证明它的自相矛盾！ 这样，作为人类智慧杰作的欧氏几何，似乎是天经地义的自然数算术，其作为科学理论的合法性，立刻变得十分可疑数学家突然认识到：第一，欧氏几何和自然数算术的一致性尚未得到证明；第二，这种一致性必须加以证明，否则，人们就没有理由相信几何与算术的定理为真理，因为，如果这样的系统是不一致的，那么，这些定理的反命题同样是可证的 这是科学发展史上一个多么应当引起重视的亮点！一个科学理论，在研究相关领域客观规律的同时，严格的自我审视原来竟是如此至关重要！ 正当数学家们把证明数学系统一致性的希望寄托在集合论身上…… 1901年，整整一个世纪前，罗素发现了“集合论”悖论！ 概括原则和外延原则 依据概括原则，罗素定义了这样一个集合S：S以所有不以自己为元素的集合作为自己的元素。

问：S是否以自己为元素？ 罗素悖论的俗本：理发师悖论 对素朴集合论的修补：公理集合论和罗素的分支类型论筑起围墙挡住了已发现的大灰狼，并不意味着能保证围墙内不再会出现大灰狼！ 第一次数学危机 毕达哥拉斯悖论：“不可公度线段存在性的证明” 第二次数学危机 贝克莱悖论：“无穷小量既是0又不是0”第三次数学危机 罗素悖论：“集合论悖论” 逻辑的数学转向：数学基础的研究 关于逻辑转向  数理逻辑的三大流派： 罗素的逻辑主义； 希尔伯特的形式主义； 布拉维尔的直觉主义 希尔伯特纲领 目标 三种数学 有穷方法 用数理逻辑的工具重新表达和构造数学系统，并证明它们的一致性，以及另外一些重要的元性质，这就是形式化的数理逻辑给自己提出的任务 这是一个巨大的挑战和艰辛的探索在这一过程中，数理逻辑自身得到了长足的发展而臻于成熟。

哥德尔不完全性定理正是在这种探索过程中所取得的最杰出的成果 哥德尔不完全性定理包括两个重要结论： 第一个结论（哥德尔第二不完全性定理）：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则这种一致性在系统内是不可证的 一个形式系统的能力，包括它的形式语言的刻划能力和演绎结构的推导能力所谓不弱于算术系统，就是指这种刻划和推导能力不弱于算术系统上述结论告诉我们：这样的系统的一致性，即不矛盾性的证明，不可能在本系统内作出，要完成这样的证明，必须使用（至少在某些方面）比本系统更强、更复杂些的工具才有可能 不要误解哥德尔第二不完全性定理 形式系统的一致性不可知？不可证？ 如果一个系统在自身内部证明了自己的一致性又怎么样？ 一个系统在自身内部证明了自己的一致性≠这个系统的一致性得到了证明因为一个不一致的系统可以证明任何结论，包括自己的一致性 命题演算在系统内证明了不矛盾律 （A ∧ A）不等于证明了自身的不矛盾性（一致性）。

 哥德尔第二不完全性定理宣告了希尔伯 特纲领的破产？ 算术系统的一致性的证明到底解决了没有？ 甘岑、阿克曼分别用超穷方法证明了算术系统的一致性哥德尔在使用有限型泛函法所构造的系统（称为Y系统）中，也证明了算术系统的一致性 现在的问题是：例如，Y系统如何证明自己的一致性？如果它不能形式化，则甚至不具备讨论它的一致性的基础；如果它能形式化，则由于它比算术系统更强，因此由哥德尔定理，它的一致性同样在自身内部是不可证的，要证明Y系统的一致性，需要更强的工具这是否说明，算术系统一致性的证明，注定是相对的 第二个结论（哥德尔第一不完全性定理）：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则是不完全的，即存在着一个系统内的真命题，在系统内不可证  哥德尔第一不完全性定理的证明是极其漂亮的 哥德尔定理的魅力，不仅在于它的内容，而且在于它的证明思路和方法 哥德尔在形式算术系统中构造了这样一个命题A，它的含义恰恰是：“命题A在系统中不可证”。

第一，A不可能假 如果命题A假，即“命题A在系统中不可证”假，即事实上命题A在系统中可证由可靠性，A是真命题矛盾！所以命题A必定真 第二，真命题A断定的正是自身在系统中不可证 所以命题A就是一个在系统中不可证的真命题！即如果系统是一致的，则是不完全的 注意：命题A这样的命题具有两个特点： 第一，命题A断定自身的不可证性这种断定是基于形式定义之上的，是严格的，无歧义的 第二，命题A就其意义来说是元数学命题，但它完全是用对象语言表达的，即完全是算术形式系统内的算术公式 也就是说，哥德尔做了一件看来有悖于形式化的基本定义的事：他用对象语言构造了一个元理论的命题 命题A这样的命题，称为不可判定性命题 不可判定性命题一旦构造出来，哥德尔定理的证明也就接近完成了 哥德尔定理证明的实质内容，就是不可判定性命题的构造，即在算术形式系统内，用对象语言构造一个元数学内容的命题，它断定自身在系统中不可证 数学不但是不完全（incomplete）的，而且是不可完全（ incompletable ）的。

是数学形式系统不可完全，还是数学不可完全？ 哥德尔定理揭示了形式化方法的局限？ 在数理逻辑这段令人眼花缭乱的发展历史和科学成果中，我认为，至少以下几点应该引起我国的人文科学工作者，包括马克思主义哲学工作者的注意和思考 第一，一个科学理论，在研究特定的对象世界的同时，应该把审视和研究自身作为本理论的一个组成部分  2000年的研究生入学政治考试中有一道试题：用对立统一规律分析改革开放的巨大成就和负面影响的关系答案要点：（1）两点论：改革开放取得巨大成就的同时出现某些负面影响是必然的；（2）重点论：巨大成就是矛盾的主要方面，决定改革开放的性质；（3）转化论：不能忽视负面影响，在一定的条件下负面影响有可能转化为矛盾的主要方面，而改变改革开放的性质不难发现，上述这些理论要点，当年就是用来证明“文化大革命成绩最大最大最大，损失最小最小最小”的，就是用来分析“大跃进”的“九个指头”和“一个指头”的关系的现在几乎一字不动地用来论证改革开放如果上述这样的哲学分析都是成立的，则允许作此种分析的哲学理论的一致性就应受到严重质疑。

 （A ∧ A） B 这个命题逻辑中的重言式说明：一个不一致的理论可以证明任何结论 第二，一个科学理论，对于说明自身是不够的  第三，哥德尔不完全定理说明，数理逻辑是这样一种科学理论和真理形式，它明确揭示和证明自己把握真理的能力限度  最后顺便提一下，上文所提到的“怪诞”的非欧几何，在它的理论形态产生的数百年后，在微观和宇观世界中找到了自己的模型和实际应用，而被证明是和欧氏几何一样的科学理论 非欧几何是从哪里来的？是从实践中来的吗？不是是基于感性经验的吗？也不是它是如此地违背人们的实践经验和感性直觉，以至人们当初构造它的唯一目的是想证明它的不可能成立它是在自己的理论形态出现几百年后才找到自己的现实模型 哲学家们应当充满兴趣地在科学的海滩边拾取这些对自己颇具挑战性的贝壳事实上，这样的贝壳并不少 本讲结束，谢谢大家 第二讲 哥德尔第一不完全性定理的证明哥德尔第一不完全性定理 一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的，则是不完全的。

 哥德尔第一不完全性定理证明的直观说明 哥德尔用一种非常巧妙同时又非常严格的方法（即著名的哥德尔配数法和算术化方法）在形式算术系统中用对象语言构造了这样一个命题A，命题A的元数学含义是：“命题A在系统中不可证” 注意：命题A这样的命题具有两个特点： 第一，命题A断定自身的不可证性这种断定是基于形式定义之上的，是严格的，无歧义的 第二，命题A就其意义来说是元数学命题，但它完全是用对象语言表达的，即完全是算术形式系统内的算术公式 也就是说，哥德尔做了一件看来有悖于形式化的基本定义的事：他用对象语言构造了一个元理论的命题 可以这样直观地描述哥德尔所构造的不可判定性命题： 假设一个算术形式系统的语言只包括自然数以及“+”和“=”，其公式只包括加法等式哥德尔在其中构造了这样一个公式 2+2=4它的含义恰恰是：“ 2+2=4 ”在系统中不可证！ 用对象语言表达的元命题！ 这何以成为可能？ 构造命题A这样的命题，对于完成哥德尔定理的证明，有什么意义呢？ 可以这么说，命题A这样的命题一旦构造出来，哥德尔定理的证明也就接近完成了。

 假设在形式算术系统中构造了这样一个命题A，它的含义是：“命题A在系统中不可证” 如果该系统是完全的，那么A可证或者A可证 如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，即“命题A在系统中不可证”是真命题，即A不可证因此， A不可证 （1） 由“A不可证”和“A可证或者A可证”，可得A可证 如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，因而A是假命题，即“命题A在系统中不可证”是假命题，即 A可证 （2） 也就是说，如果该系统是完全的，则命题A在该系统中既可证又不可证，因此该系统是不一致的 这就证明了：如果该系统是一致的，则它是不完全的 注意： （1）式 “A不可证”，依赖于A的构造，是个真命题；（2）式“A可证”，及“A在系统中既可证又不可证”，依赖于系统是完全的这一假设 因此，对于一致的算术形式系统而言，命题A是真的（即它的不可证性是成立的），但又是不可证的。

因此，哥德尔第一完全性定理也可表述为：在一致的形式算术系统中，并非任何真命题都可证 算术形式系统H的构造算术形式系统H中不可判定性命题的构造  算术形式系统H的构造 一阶逻辑 标准形式系统 一阶理论形式系统 非标准形式系统形式系统的两个要素： 表达能力 证明能力 算术形式系统H是一一阶理论 算术形式系统H和一阶逻辑形式系统Q的关系： 二者具有相同的表达能力； 前者比后者具有更强的演绎证明能力 一阶谓词演算Q的构造 Q的语法理论 符号库 形式语言 形成规则谓词演算 公理 演绎结构 推导规则 形式语言L1初始符号：第一个符号：p第二个符号：＇第三个符号：∧第四个符号： 第五个符号： ） 第六个符号：（ 形式语言L2初始符号： 形式语言L1的符号都是L2的符号，此外，L2还包括以下六个符号：第一个符号：x（个体变项）第二个符号：a（个体常项）第三个符号：f（函数） 第四个符号：F（谓词） 第五个符号：* 第六个符号：（量词） L2这样的形式语言，称为一阶语言。

形成规则： 项的形成规则 公式的形成规则 （具体略）谓词演算Q的演绎结构 Q的公理 令A、B和C为任意L公式，x为任意个体变项，t为任意项，则具有以下形式的L公式，都是Q的公理：（Q公理1） A→（B→A）（Q公理2）（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））（Q公理3）（A→B）→（B→A）（Q公理4） xA→A（x/t） （t对于A中的x是自由的）（Q公理5） x(A→B)→(A→xB)（x不在A中自由出现）Q的推导规则有两条： Q规则1（分离规则）： 从A和A→B可以得到B Q规则2（全称概括规则）： 从A，可以得到xA Q的语义理论 因此，具体地说，Q的一个解释，有这样一些内容：第一，确定一个由个体元素组成的非空集合作 为论域；第二，把每个项解释成论域中的一个元素；第三，把每个谓词解释成论域中的一个性质或 关系；第四，对每个原子公式赋以或定义一个确定的 真值；第五，按通常的方式，定义和→；第六，定义量词 （具体略）  Q的元理论Q满足： 可靠性（可证公式即定理都是有效式） 一致性（不存在一个公式和其否定都可证） 完全性（有效式都可证）Q不满足： 可判定性（任一公式是否为有效式都能行可判定） 算术形式系统H H的形式语言为L2=（ L2=和L2的区别仅在于前者比后者多了一个初始符号=） 初始符号中： 个体常项符号为0； 函数符号为：+（加）  （乘） ’（后继） 形成规则： 项的形成规则 1] 0是项； 2] 任一个体变项（x，y，z，…）是项； 3] 如t是项，则t，是项； 4] 如果s和t是项，则s+t是项； 5] 如果s和t是项，则s t是项； 6] 其余的都不是项。

 公式的形成规则1] 如果s和t是项，则s=t是公式；2] 如果A是公式，则A是公式；3] 如果A和B是公式，则AB是公式；4] 如果A是公式，x 是个体变项并且在A中是自由的，则xA是公式；5] 其余的都不是公式 公理 1] 所有的Q公理都是H的公理 2] ①　x = x　　 ② （x = y）（A（x）A（y））　3] ① 0 ≠ x，　　　 ② （x，= y，）（x = y） ③ x + 0 = x ④ （x + y，）=（ x + y）， ⑤ x   0 = 0 0 = 0 ⑥ x   y，= （x   y）+ x ⑦ （ A（0） x（A（x）A（ x，））） A（x） H的推导规则即为Q的推导规则 不可判定性命题的构造 哥德尔定理证明的实质内容，就是不可判定性命题的构造，即在算术形式系统内，用对象语言构造一个元数学内容的命题，它断定自身在系统中不可证。

 哥德尔配数法 把正整数1-14配给以下符号：        =   ， 0 （ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14对每一个不同的个体变项配以大于4的不同的素数：x y z … 17 19 23对每个公式按以下方式配以一个正整数：[例] z（z， x = y ） 7 23 13 23 11 9 17 8 19 14 这个公式对应的正整数为： 273235137231111139171719823192914按上述方式，每个算术形式系统中的公式，都唯一确定地对应着一个正整数，这样的正整数称为该公式的哥德尔数  按以下方式，给每个证明配以哥德尔数： 证明是一有穷公式序列A1，A2，…，An 设A1的哥德尔数为m1， A2的哥德尔数为m2， … An的哥德尔数为mn， 则上述证明的哥德尔数为： 2m13m2…hmn ，其中，h为第n个素数 这样，每个证明唯一确定地对应着一个哥德尔数。

 公式的哥德尔数与证明的哥德尔数都具有以下的形式： 2a13a2…han ，其中，h为第n个素数 但二者是不会发生混淆的因为任意一个初始符号自身都不能构成公式，因此，初始符号对应的正整数不可能是任一公式的哥德尔数 我们达到了以下的结果： 在算术形式系统H中： 任一初始符号都唯一确定地对应着一个正整数； 任一公式都有唯一的哥德尔数，不同的公式有不同的哥德尔数； 任一证明都有唯一的哥德尔数，不同的证明有不同的哥德尔数； 任给一个公式或证明，我们都可以计算出它的哥德尔数； 任给一个正整数，我们都可计算出它是否为哥德尔数；如果是的话，并能计算出它是哪个公式或证明的哥德尔数 元数学的算术化 如何在算术形式系统中用对象语言构造元数学命题？ 以下的讨论不严格区分自然数和它在形式系统中的表达，例如，自然数6在系统中表达为0，，，，，，，这二者是有区别的另外，以下的讨论假设表达元数学谓词的算术谓词在算术形式系统中都可表达事实上，这需要经过复杂的证明 由于算术形式系统的每一公式和证明都配以一个哥德尔数，因而有关公式或证明的元数学命题都可变为这些哥德尔数之间关系的算术命题，也就是说：关于系统的断定可以成为系统内的断定，元数学的谓词可以成为算术谓词。

例如： “D是一条公理”，这是一个元数学命题 如何用对象语言表达它，使它成为系统内的一个算术公式呢？ 算术系统H共有14条公理设它们的哥德尔数分别为：a1，a2，…，a14，并令d表示公式D的哥德尔数则元数学命题 “D是一条公理”可表示为： d=a1  d=a2  …  d=a14 （1） 公式（1）恰恰是用对象语言表达的系统内的算术公式，但它表达的又恰恰是 “D是一条公理”这样的元数学内容！ 也就是说，表示“D是一条公理”的元数学谓词AX（D）可记为算术谓词Ax（d）， Ax（d）定义为： Ax（d）= d=a1  d=a2  …  d=a14  再考虑元数学命题： “公式序列Y是公式A的一个证明” 设Y的哥德尔数是c，A的哥德尔数是a，则元数学命题 “公式序列Y是公式A的一个证明”可表示为： c= 2b13b2…hbn  bn = a （其中，h为第n个素数，n和b1，…，bn的值均由c确定） 也可简写为： c= 2b13b2…ha （2） 公式（2）恰恰是用对象语言表达的系统内的算术公式，但它表达的又恰恰是 “公式序列Y是公式A的一个证明”这样的元数学内容！  类似地，表示“公式序列Y是公式A的一个证明”的元数学谓词F（Y，A）也可记为相应的算术谓词U（c，a）。

一般地，算术谓词U（x，y）表示，哥德尔数字为x的公式序列是哥德尔数为y的公式的证明 这样，对任意公式A，如果它的哥德尔数是a，则 “ 公式A在系统内不可证”这个元数学命题就可表达为以下的算术公式，这样的公式在系统内可表达： xU（x，a） 现在，我们已经能成功地在算术系统内构造一个元数学命题：“公式A在系统内不可证” 我们的目标是构造不可判定性命题，即在系统内构造一个公式A，它的含义正是：“公式A在系统内不可证”，也就是说，它的含义正是断定自身在系统内不可证 哥德尔最终达到了这个目标这里，哥德尔进一步显示了他伟大的天才！算术系统中的代入函数 S（u，v） 表示： 在哥德尔数为u，并且含有自由个体变项x的公式中，以v替换x所得到的公式的哥德尔数例：y（x + y = 5） 其哥德尔数不难算出，记为m； ① S（m，2）= ？ 在 y（x + y = 5）中，以2替换x所得到的公式为y（2 + y = 5），不难算出其哥德尔数，记为n， 则 S（m，2）= n 算术系统中的代入函数 S（u，v） 表示：在哥德尔数为u，并且含有自由个体变项x的公式中，以v替换x所得到的公式的哥德尔数。

例：y（x + y = 5） 其哥德尔数不难算出，记为m； ② S（m，m）= ？ 在 y（x + y = 5）中，以m替换x所得到的公式为y（m + y = 5），不难算出其哥德尔数，记为k， 则 S（m，m）= k 前面已定义：算术谓词U（x，y）表示，哥德尔数字为x的公式序列是哥德尔数为y的公式的证明 xU（x，a）表示什么？ xU（x，a）表示：哥德尔数字为a的公式在系统中不可证  在算术形式系统中构造以下公式，这个公式中包含自由个体变项y，记为A（y）： xU（x，S（y，y）） 这个公式的含义是：哥德尔数为S（y，y）的公式在系统中不可证 S（y，y）等于在哥德尔数字为y的公式中，以y替换某变项的所有自由出现所得到的公式的哥德尔数 现把A（y）的哥德尔数记为p在A（y）中，以p来替换y的一切自由出现，得到以下公式，记为A（p）： xU（x，S（p，p）） 这个公式的含义是：哥德尔数为S（p，p）的公式在系统中不可证。

问题的绝妙之处正在于：哥德尔数为S（p，p）的公式，正是A（p）自身！因为A（p）正是在哥德尔数字为p的公式中，以p替换变项y的所有自由出现所得到的公式！因此，A（p）正是这样的公式，它断定自身在系统中不可证 xU（x，S（p，p）） 让我们多注意一下这个神奇的公式吧！ 这是一个算术公式，是一个纯粹的系统内的公式，没有任何自然语言和其它任何元语言的痕迹，但它表达的却是元数学的含义，并且是一种极其独特的元数学含义：它严格地，不带任何歧义地断定自身在系统中不可证 这就是著名的不可判定性命题有了它，证明哥德尔不完全性定理就只有咫尺之遥了 我们把 xU（x，S（p，p））简记为A A的含义正是断定“A在系统中不可证” 如果H是完全的，那么A可证或者A可证 如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，即“命题A在系统中不可证”是真命题，即A不可证因此， A不可证 （1） 由“A不可证”和“A可证或者A可证”，可得A可证。

如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，因而A是假命题，即“命题A在系统中不可证”是假命题，即 A可证 （2） 也就是说，如果该系统是完全的，则命题A在该系统中既可证又不可证，因此该系统是不一致的 这就证明了：如果该系统是一致的，则它是不完全的  如果算术形式系统是完全的，那么在其中A或者A可证 如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，即“命题A在系统中不可证”是真命题，即A不可证！如果A可证，则由可靠性定理，A是真命题，因而A是假命题，即“命题A在系统中不可证”是假命题，即A可证！ 也就是说，如果该系统是完全的，则命题A在该系统中既可证又不可证，因此该系统是不一致的 这就证明了：如果该系统是一致的，则它是不完全的 由上也可看出，对于一致的算术形式系统而言，命题A是真的（即它的不可证性是成立的），但又是不可证的因此，哥德尔第二完全性定理也可表述为：在一致的形式算术系统中，并非任何真命题都可证注意： （1）式 “A不可证”，依赖于A的构造，是个真命题；（2）式“A可证”，及“A在系统中既可证又不可证”，依赖于系统是完全的这一假设。

因此，对于一致的算术形式系统而言，命题A是真的（即它的不可证性是成立的），但又是不可证的因此，哥德尔第一完全性定理也可表述为：在一致的形式算术系统中，并非任何真命题都可证 谢谢大家。