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专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13-1, 为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E, BCIAC^^ C,交半圆于点 F.E2知 AC=12, BC=9,求 AO 的长.图 Z13-1经典母题答图解：如答图，连结0E,设OO的半径是7?,则 OE=OB=R.在RtAACB中，由勾股定理，得AB=#AC2+BC2=15.VAC切半圆0于点E,・・・OE丄ACfA ZOEA=90 =ZC,・\OE//BC,:./\aeo^/\acb9・QE=AO・2=1^解 至••C_AB，…厂15 ，胖付人_8，75:.AO=AB-OB=15-R=~^.【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长.【中考变形】1. 如图 Z13-2,在 RI/XACB 中，ZACB=90 , O 是 JAC边上的一点，以为圆心，0C为半径的圆与AB相切于点D,连结OD C ~~]（1） 求证：（2） 若OO的半径为1,求证：AC=AD BC. 图Z13 — 2证明：（1）・.・AB是（DO的切线，：・0D丄AB,・•・ ZC=ZADO=90 , V ZA=ZA,・・・ /\ADO^/\ACB;(2)由(1)知，△ADOs/viCB.・ ad_od•*AC=BC,:.AD - BC=AC OD, ・.・OD=1, :.AC=AD BC.2. [2017-德州]如图Z13-3,已知RtAABC, ZC=90 , D为BC的中点，以AC为直径的(DO交AB于点E.(1) 求证：DE是OO的切线；(2) 若 AE : EB=l : 2, BC=6,求 AE 的长.图Z13-3 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE, EC, VAC是OO的直径，・・・ZAC= ZB EC =90 , •:D为BC的中点，:・ED=DC=BD, A Z1 = Z2,VOE=OC, :. Z3=Z4,A Z1 + Z3=Z2+Z4,即ZOED=ZACB,V ZACB=90 , A ZOED=90 , :.DE 是00 的切线；(2)由(1)知 ZBEC=90 ,•・•在 RtABEC 与 RtZkBCA 中，ZB=ZB, ZBEC=/BCA,/\BEC/\BCA, .Ibc= ba，:.BC2 = BE BA, VAE : EB=\ : 2,设 AE=xf 贝]BE=2x, BA = 3x,•・・BC=6, A62=2%-3x,解得 x= 甫,即 AE= 甫.3. 如图Z13-4,已知AB是OO的直径，BCA-AB,连结OC,弓^AD//OC,直 线CD交BA的延长线于点E.(1) 求证：直线CD是的切线；(2) 若 DE=2BC,求 AD ： OC 的值.中考变形3答图解：⑴证明：如答图，连结DO. ・・・AD〃OC,・•・ ZDAO=ZCOB, ZADO=ZCOD.9：0A = 0D, :. ^DAO=ZADO,:.ZCOD=ZCOB.又•: CO=CO, OD=OB, :. A COD^ A COBRAS）,・•・ ZCDO=ZCBO=90 ,即 OD丄 CD又•・•点D在00上，・・・直线CD是00的切线；（2）由（1）知，△COD竺△COB,:・CD=CB.•: DE=2BC,:・DE=2CD.•:AD//OC,:.HEDAs/\ECO,・ AD_DE_ DE _2• ~OC=~CE=DE+CD=y4. [2016-广东]如图Z13-5, OO是ZXABC的外接圆，BC是。

0的直径，ZABC= 30 .过点3作OO的切线3D,与CA的延长线交于点D与半径AO的延长线交于点E过点A作(DO的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1) 求证：AACF^ADAE；⑵若S^oc=4f求DE的长；(3) 连结EF,求证：EF是(DO的切线.中考变形4答图图 Z13-5解：（1）证明：•:BC 为 OO 的直径，A ZBAC=90 ,又 V ZABC=30 ,・・・ZACB=60又・.・Q4 = 0C,:./\OAC 为等边三角形，即 ZOAC= ZAOC=60 ,VAF 为(DO 的切线，A ZOAF=90 ,・・・ ZCAF=ZAFC=30 ,•：DE 为00 的切线，・•・ ZDBC=ZOBE=90 ,A ZZ)=ZDE4 = 30 , A ZZ)=ZC4F, ZDEA=ZAFC,・・・△ACFs&AE;(2)・・・ AAOC为等边三角形：.OA=\, BC=2, OB=1,又 V ZD=ZBEO=30 ,・・・BD=2百,BE=书,・•・DE=3百;(3) 证明：如答图，过点0作0M丄EF于点M,= ZOAF=ZOBE=90 , ZBOE=ZAOF,・・・△ OAF^ △ OBE(SAS), Z. 0E= OF,V ZOF= 120 , A ^OEM=ZOFM=3Q ,:.ZOEB=ZOEM=30 ,即 OE 平分ZBEF,又 I ZOBE=ZOME=90 ,:・OM=OB, :.EF为G)O的切线.5. [2017-株洲]如图Z13-6, 43为(DO的一条弦，点C为劣弧的中点，E 为优弧A3上一点，点F在AE的延长线上，U BE=EF,线段CE交弦A3 于点D.⑴求证：CE//BF；(2) 若 BD=2,且 E4 ： EB ： EC=3 ： 1 ：萨，求△BCD 的面积.图 Z13-6解：(1)证明：如答图，连结AC, BE,作直线OC,•: BE=EF,・・・ZF=/EBF,J ZAEB=ZEBF+ZF,:.ZF= ^ZAEB,•・・C是矗的中点，:.AC=BC,:.ZAEC= ZBEC, J ZAEB= ZAEC+ ZBEC,:.ZAEC=^AEB, :. ZAEC=/F,:・CE〃BF;(2Y： ZDAE=ZDCB, ZAED=ZCEE,ah 4F AD 3：.\ADEs\CBE,・・・盂=卷,即希=肩•： ZCBD=ZCEB, ZBCD=ZECB,:./\CBEs/\CDB,・bd=^e即2=丄• • CB_ CE，1 CB~y[5f・・・CB=2肩 :.AD=6f :.AB=89・・・点C为劣弧AB的中点，：.0C丄AB,设垂足为 G,则 AG=BG=*AB=4,・・・ CG=VCBI-BG2 = 2,AS△BCD —*BD • CG=|x2X2 = 2.6. 如图Z13-7, A3是。

O的直径，C为00上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E, AE交0于点D,肓线EC交AB的延长线于点P,连结AC, BC, PB : PC= 1 : 2.(1) 求证：AC平分ZBAD；(2) 探究线段PB, AB之间的数量关系，并说明理由.图 Z13-7中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结0C.TPE是OO的切线,A OC丄PE,VAE丄 PE, A OC//XE,:.ZDAC=Z0CA,VOA = OCf A ZOCA=ZOAC,:.ZDAC=ZOACf:.AC 平分ZBAD;(2)线段PB, AB之间的数量关系为AB=3PB.理由：TAB是OO的直径，・・・ZACB=90 , A ZBAC+ ZABC=9Q ,•：ob=oc, :. ^OCB=ZABC9V ZPCB+ZOCB=90 ,：・ ZPCB=ZPAC,・.・ZP是公共角，:.PCBsPAC,:•甥=專，・•・》& = PB・PA，TPB : PC=\ : 2,・・・PC=2PB,:.PA=4PBf ・・・AB=3PB.7. [2016-枣庄]如图Z13-8, AC是OO的直径，BC是(DO的弦，P是OO外一 点，连结必，PB, AB,己知ZPBA=ZC.(1) 求证：PB是00的切线；(2) 连结0P,若OP//BC,且0P=8, (DO的半径为2迄，求BC的长.解：(1)证明：如答图，连结OB,VAC是(DO的直径，A ZABC=90 , ZC+ZBAC=90 ・•・・OA = OB, A ZBAC=ZOBA,•・・ ZPBA=ZC,A ^PBA+ZOBA=90 ,即 PB丄OB.・・・FB是(DO的切线；(2)00 的半径为 2迈，A OB=2^2, AC=4y/2,VOP//BC,・•・ ZBOP=ZOBC=ZC,又 V ZABC=ZPBO=90 , :. ZBCs\PBO,:.BC=2,•匹=也血BC _4迈• • BCTPO ]2yl2~ 88. [2017-聊城]如图Z13-9, OO是AABC的外接圆，0点在BC边上，ABAC 的平分线交00于点D,连结BD, CD,过点D作BC的平行线，与AB的 延长线相交于点P.(1) 求证：PD是的切线；(2) 求证：APBD^ADCA；图Z13-9 中考变形8答图解：(1)证明：•・•圆心0在BC上，:.BC是OO的直径，A ZBAC=90 ,如答图，连结0D,TAD 平分 ABAC,:.ZBAC=2ZDAC,•・• ZD0C=2ZDAC,:.ZDOC=ZBAC=90 ,即 OD丄BC,•: PD//BC, :. 0D丄 PD, V OD 为的半径，・・・PD是00的切线;(2)证明：•:PD//BC,・・・ZP=ZABC,•・• ZABC= ZADC, :. ZP= ZADC,V ZPBD+ZABZ)= 180 , ^ACD+ZABD=\80 ,:.ZPBD=ZACD, :.PBDsDCA;(3) V△ABC为直角三角形，・・・BC2=AB2+AC2=62 + 82=100, Z.BC= 10,VOD垂直平分BC,:・DB=DC,VBC 为。

O 的直径，A ZBDC=90 ,在 Rt/XDBC 中，DB1+DC1=BC2f 即 2DC2=BC2= 100,:.DC=DB=5p, •: \PBDs\DCA,•少=型 ⑷心DC・BD_5后5迄_25••DC_AC, 1 AC ~ 8 _4・【中考预测】[2017-黄冈模拟]如图Z13-10, AB为OO的直径，CD与00相切于点C,且OD丄BC,垂足为F, OD交00于点E证明：(1) ZD=ZAEC；(2) OA2=ODOF.图 Z13-10中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC,・・・CD与相切于点C,・・・ZOCD=90 .A ZOCB+ZZ)CF=90 .V ZD+ZDCF=90 ,:.乙OCB=ZD,VOB=OC,・•・ ZOCB=ZB,V ZB=ZAEC, A ZZ)=ZAEC;(2Y： ZB=ZAEC,：・ ZD=/B,VOD丄BC, A ZBFO=ZOCD=90 ,•••/\BOFs/\DOC,.OC_OD OA = OD••OF—OB卩 OF—04’：.O^ = ODOF.。