矩阵中的基础解系解法PowerPoint演示文稿.ppt

有解判定定理有解判定定理§4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构? ?有无穷多解有无穷多解一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构? ?系数矩阵系数矩阵未知矩阵未知矩阵 满足齐次线性方程组满足齐次线性方程组方程组的方程组的解向量解向量 称称 是齐次线性方程组的一个解是齐次线性方程组的一个解1、解的性质、解的性质性质性质1 齐次线性方程组的两个解的和齐次线性方程组的两个解的和 仍是方程组的解仍是方程组的解.即即证证 性质性质2k为实常数为实常数,证证 齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解2、基础解系、基础解系回顾方程组（回顾方程组（2）的求解过程及解的表示）的求解过程及解的表示不妨设不妨设A的前的前r个列向量线性无关个列向量线性无关,（（2）的同解方程组）的同解方程组（（2）的通解）的通解否则，可调换否则，可调换未知量先后顺序未知量先后顺序（（2）的通解）的通解（（2）的任意一个解可由）的任意一个解可由（无穷多个向量的组）R（（A））=n时，时，组（组（2）没有基础解系）没有基础解系自由未知量的个数自由未知量的个数 求求出出方方程程组组 (2)的的 通通 解解 , 可可求求出出其其一一个个基基础础解解系系 (r

值，构成方程组的解向量通解为通解为 为任意常数为任意常数解解同解方程组为同解方程组为得基础解系得基础解系例例1( (P.99例例12) )求方程组的求方程组的 基础解系和通解基础解系和通解令令先求基础解系再写出通解先求基础解系再写出通解得通解为得通解为同解方程组为同解方程组为得基础解系得基础解系通解为通解为令令先求基础解系再写出通解先求基础解系再写出通解 先求基础解系，再写出通解先求基础解系，再写出通解 (i) 写出系数矩阵并将其化为行最简形写出系数矩阵并将其化为行最简形 I ；；(ii) 由由 I 确定出确定出 n–r 个自由未知量，并写出同解方程组个自由未知量，并写出同解方程组;(iii) 令这令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量个自由未知量分别为基本单位向量可得相应的可得相应的 （（n–r 个解）基础解系个解）基础解系(iv) 写出通解写出通解 当然，基础解系并不惟一！当然，基础解系并不惟一！ 比如本题同解组比如本题同解组得基础解系得基础解系通解为通解为但解集合惟一但解集合惟一基础解系不惟一基础解系不惟一只要自由未知量取为只要自由未知量取为n-r维的线性无关向量组维的线性无关向量组再解再解～～得基础解系得基础解系通解为通解为自由未知量取法也不唯一自由未知量取法也不唯一只要确定A的秩，确定自由未知量，自由未知量确定n-r维的无关组，得基础解系，写出通解。

即可行！倒行最简形倒行最简形例例13(13(P. 100 ) )矩阵的性质（矩阵的性质（8））分析分析只证： 例例13(13(P. 100 ) )证证此即此即P109.24证明证明证证 ∵∵R( (A–E) ) = R( (E–A) ),故只需证故只需证  R( (A) )+ R( (E–A) )≤ n,又又 E = A +( (E – A),), R[ [A +( (E – A)])]P100. 例例13≤ R( (A) ) + R( (E – A) ) ,∴ n = R( (E) )= R( (A) )+ R( (E–A) )≤ n,且且 R( (A) )+ R( (E–A) )≥ n Ax=  与与Bx=  同解，同解， 例例14(14(P. 100 ) )此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明证证则则S的秩的秩解集合设为S ,该结论说明该结论说明同理 Bx=b 与与Ax=b 同解同解  Bx=b 与与Ax=b 等价等价 Bx= 与与Ax=  同解同解  Bx= 与与Ax=  等价等价 （（ A 的行组与的行组与 B 的行组等价）的行组等价）证明秩相同的一个方法证明秩相同的一个方法Bx= 与与Ax=  等价必有等价必有 Bx= 与与Ax=  同解同解反之，反之，Bx= 与与Ax=  同解同解 必有必有R(A)=R(B) 及及A的行向量组可由的行向量组可由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示必有必有Bx= 与与Ax=  等价等价Bx= 与与Ax=  同解同解 与与同解同解A与B1同秩，同秩，显然前者显然前者行向量组行向量组可由后者可由后者行向量组行向量组线性表示线性表示从而两矩阵的从而两矩阵的行向量组行向量组等价等价可由可由A的的行向量组行向量组线性表示线性表示即有两者的即有两者的行向量组行向量组同秩同秩同理同理B的每一行都可由的每一行都可由A的的行向量组行向量组线性表示线性表示A的每一行也都可由的每一行也都可由B的的行向量组行向量组线性表示线性表示A与与B的的行向量组行向量组等价等价Bx= 与与Ax=  等价等价 本章第一节第二次课最后一屏！本章第一节第二次课最后一屏！ ？？同理 Bx=b 与与Ax=b 同解同解  Bx=b 与与Ax=b 等价等价 非齐次组同解，必有导出组同解非齐次组同解，必有导出组同解系数矩阵同秩系数矩阵同秩增广矩阵同秩增广矩阵同秩A的增广矩阵的行组可由的增广矩阵的行组可由B的增广矩阵的行组表示的增广矩阵的行组表示反之亦然反之亦然例例15(15(P. 100 ) )证明证明证证设A为 矩阵,反之反之由例由例14(14(P. 100 ) )结论结论同解方程组同解方程组:基础解系基础解系为：为：例例2 求方程组的求方程组的基础解系和通解基础解系和通解求出通解可得基础解系求出通解可得基础解系同解方程组为同解方程组为基础解系：基础解系：为自由未知量先求基础解系再写出通解先求基础解系再写出通解。