复变函数积分.doc.docx

感谢你的观看Chapter2复变函数积分Abstract：DerivationtheCauchytheoremandCauchyformulabasedonthepropertiesoftheintegralsofcomplexvariablefunctions.、复变函数积分(Integralsofcomplexvariablefunctions)1 .定义：设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线，函数f(z)在l上有定义，沿l取分点Z0a,Z1,Z2,,Zn1,Znb,从Zk〔Zk的一小段上nn任取一点k,作和数fkZkZk1fkZk,如果当弧段k1k1?k1Zk(k1,2,,n)的最大长度0时，此和数的极限存在，且与Zk和k的选取无关，那么这个极限值称为f(z)沿曲线l的积分，n记作f(z)dzlimfkzk.lmaxz0kk,k1*)一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合1f(z)dzl(uiv)d(xiy)l(udxvdy)il(vdxudy).因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果l是分段光滑的，f(z)在l上连续，复变函数积分一定存在)可以把f(z)沿曲线l的积分化为关于参数t的积分[参数方程：z(t)],即lf(z)dzf[(t)]'(t)dt,其中(，)由曲线端点(a,b)的参数值确定。

2 .性质：n(1)若l1il2ln,则J(z)dzf(z)dz.lk1lk(2) ।f(z)dz।f(z)dz,其中1表示1的逆向3) lGfi(z)c2f2(z)dzGlfi(z)dz021f2(z)dz.(4) lf(z)dzl|f(z)||dzl|f(z)dlML,其中M是f(z)的上界,L是曲线l的长例1.求lRezdz,l为：(i)沿实轴由01,再平行于虚轴112i；(ii)沿虚轴由02i,再平行于实轴2i12i；(iii)沿直线由012i.解：令zxiy,则Rez xu(x, y), v(x, y) 0dz dx idy.对于(i)，lRezdzl.xdx1xdx01 dy对于(ii)lRezdz.xdyxdxl42i 00 dy1x dx01 2i .21.2对于(iii)y 2x,lRezdzxdxl5xdy51xdx02y dy 102 2虽然积分的起末点相同,但三种结果不同,这是由于f(z) x不是解析函数例2. l zdz ,其中l以z01为起点，z1 1为终点，路径为：(i)直线段;感谢你的观看(ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周练习)解：(i)l的参数方程为:zdz1xdx(ii)l的参数方程为：0：：zdzeiel l的参数方程为：zx,x1,1,12 xdx1.0zei,0,,0..0diede1所以dzdx,则所以dzieid,则2.,所以dzieid,则lzdz0i■||eied0iiedei例3.计算积分Iltdz,其中l为实圆环1|z2的上半部分的边界,方向为环形区域的正方向(靠右行)0解:I -dzl zxdx xl10 ee iiei d-dx x差加id0 2ei1 1134.3e3 12 i3 e3咋看起来f(z)ei2在D内解析，应该有2f(z)dz0.其实不然,f cos 2仅仅依赖于而非依赖于0 v -u-sin 2非解析。

例4.计算积分Indz, ( n1,2,),其中C是以点a为圆心,r为半径的圆,积分方向为逆时针方向解：曲线C的参数方程为：z a rei(0).In ?c2 1 i 2dz ―― ire dn 0 n in 00 r e 0. i (n 1) ien 1 rn 1n 2,3L这个积分与半径r及常点a的位置无关，并且必须在复平面上，其实I1dzln(z a) |c 2 i是个纯虚数二、科希定理(CauchyTheorem)上节讲述的是一般复变函数积分(主要是例子)一般来说，它们的值不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的f(z)能使积分lf(z)dz与曲线段l—具体形状无关一一这正是解析函数Cauchy定理正是研究这类函数的有力工具(是基础，非目标)单连通区域：对于区域D,如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中,曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点(可以是几个点、几条线、几个区域)而组成的区域境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定(定义)为正向1.单连通区域的Cauchy定理：如果f(z)在闭单连通域D中解析，则沿D中任何一个分段光滑的闭曲线1,有：f(z)dz0.证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。

附加条件是f(z)在D中连续(其实，后面会看到，只要f(z)在D中解析，即f(z)存在，则f(z)也存在，因而f(z)连续)，即四个偏导数上,、,’,二连续在此条件下可以应用Green公式(*)xyxyQP°P(x,y)dxQ(x,y)dyc———dxdy于旻变函数积分，有lSxy蛾(z)dz |(u iv)d(x 蜒udx vdy)v uS x yiy)i । (vdxdxdy iudy)v一 dxdy. y根据Cauchy-Riemann条件，马上得到：f(z)dz0.注意(*):by2(x)bPdxdydxyPdy[P(x,y2(x)P(x,y[(x))]dxSay1(x)abaP(x,y1(x)dxP(x,y2(x)dx?P(x,y)dxab由于Green公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界域，即，不能是包含点在内的(无界)域以后我们会看至L即使f(z)在点解析，它绕点一周的积分也可以并不为00推论一：如果f(z)在闭单连通域D中解析，则复变积分lf(z)dz与路径无关或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连续变形而积分值不变2.复连通区域的Cauchy定理：如果f(z)是闭复连通域D中的单值解析函数(需要做手脚！)，则有口f(z)dz0,其中1k(k1,2,,n)是ki1kD的全部境界线(正方向)。

证明：(略)蜒f (z)dzf (z)dz.推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和otherwise,其中，a在曲线C内推论三：设f(z)是闭区域(单连通或复连通)D上的解析函数，对于D内的一条闭曲线1,当它在D内连续变形时积分值J(z)dz始终保持不变(但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！)一个常用结果：当n0,1,2,,(za)n在全平面解析，由CauchyTheoremsIn0,对于n1,2,,(z2了在2a点不解析，由推论三，我们总可以把围绕a的任一闭曲线C变为以a为圆心的圆周，然后利用前面例题的结果一―、、例1.如果函数f(z)在0zaR环域内解析，且lim(za)f(z)A(这个数值类似于、但不是留数,Residue),则za%fzdz2iA，曲线C为D内绕a点的闭曲线证明：：-^―dz 2 i .C z a蜒f z dz 2 iA. Af z dz ? dzar .Cz a|z(z a)f(z) Adz ar z a20(z a)f(z) ar z alAdz(z a)f(z)rA 一 rd时,(za)f(z)Adlim(za)f(z)A,即，任给0,存在za有(za)f(z)A.(解析函数一致性定理！)所以2A/ (z a).?Cfzdz2iA0|(za)f(z)Ad20.因此，◎fzdz2iA.只要limf(z)Cza例2(X).设C为不经过与的正向简单闭路，为不等于零的任何复数，试就C与的位置关系，计算I。

z^.22解:Cz因为C不经过与，故C与的位置关系有四种可能:(1) 与同时位于C的外部，I0;(2) 位于C的内部，位于C的外部,,dz~~2 2zd^,dzCz222CzCz(3) 位于C的内部，位于C的外部,三、,dz1IF2—Cz222(4) 与同时位于,dz1 c7~~2c士上20CzCz2C的内部，由推论二，有dz~22zdziCT^一-0.(X)解析函数不定积分(Indefineintegrals)定理：设f(z)是单连通域内的解析函数，z0是D内的一个定点，在D内定义函数，F(z)zf()d,则F(z)也是D内的解析函数，且z0F(z)f(z),同时，对D内的任意两点Z1和Z2,有f()dFg)F(zi).z2z1zo路径无关，所以，FF(zz)F(z)z1f(z)zf()d,由此可得,f()df(z)f()f(z)df(f(z)d|.由于f(z)是解析的，它一定连续，即,对于任给使得当z时，f()f(z)，［只要z同时点落在以z点为中心,z为半径的圆内，就有f()f(z)所以Fzf(z)z,即得f(z)izmof(z).这就证明了F(z)在D内处处可导，是D内的解析函数，并且F(z)f(z).根据原函数的定义：如果(z)f(z),则(z)称为f(z)的原函数。

可见F(z)是f(z)的一个原函数对于给定的一个函数f(z)来讲，原函数不是唯一的任意两个原函数之间只相差一个常数这是因为，如果i(z)与2(z)都是f(z)的原函数，则l(z)f(z),2(z)f(z).所以i(z)2(z)i(z)2(z)f(z)f(z)0,即i(z)2(z)c.z2现在证明f()dF)F(z1).设(z)也是f(z)的一个原函数，那么，(z)F(z)Czf()dC,显然(z0)C,zo于是上式又可写为：zzf()d(z)(z)F(z)F(z°).因而，z04f()dF(z2)F(4).zizf(z)的原函数的集合称为f(z)的不定积分、记为f()d.四、科希积分公式(Cauchyintegralformula)Cauchy定理最直接、最重要的结果是Cauchy公式对于区域D上的解析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决定了它在D内。