考研数学]北京航天航空大学线性代数7-3向量的坐标.ppt

一一 向量的坐标向量的坐标第三节第三节 向量的坐标向量的坐标 基变换与坐标变换基变换与坐标变换定义定义 设设V是数域是数域K上的上的n维线性空间维线性空间, 是是V的一组基底的一组基底, 对任意对任意V, 可由基底线性可由基底线性表出表出则称有序数则称有序数为元素为元素在基底在基底下的坐标下的坐标, 记作记作定理定理3.1 设设1, 2, …, n是线性空间是线性空间V的一的一组基底组基底,  V, 则表达式则表达式是唯一的是唯一的(坐标的唯一性坐标的唯一性).证明证明设设在基底在基底1, 2, …, n下有两种下有两种表达式表达式则则由由1, 2, …, n线性无关线性无关, 得得例例1 P4[x]的两组基底为的两组基底为求求在上述两组基底下的坐标在上述两组基底下的坐标.解解显然显然f(x)在第一组基底下的坐标为在第一组基底下的坐标为(4, 3, 5, 0, 4)设设得方程组得方程组解得解得即即f(x)在第二组基底下的在第二组基底下的坐标为坐标为(7, -8, 5, 0, 4).例例2 若若1, 2, …, n是线性空间是线性空间V的基底的基底, 则则是是V中一组基底中一组基底证明证明只要证明只要证明1, 2, …, n线性无关线性无关.1, 2, …, n线性无关线性无关k11+k22+…+knn=0只有零解只有零解.代入代入1, 2, …, n的表达式的表达式, 得得(k1a11+k2a12+…+knan1)1+ (k1a21+k2a22+…+knan2)2+…+ (k1a1n+k2a2n+…+knann)n=0由由1, 2, …, n线性无关线性无关, 则则此方程组只有零解此方程组只有零解系数行列式不为零系数行列式不为零注注(1) 例例2给出了用已知基底构造其它基的方法给出了用已知基底构造其它基的方法.(2) 利用坐标的概念利用坐标的概念, 抽象的线性空间中的元抽象的线性空间中的元素得到数量化素得到数量化, 这时其运算同一般向量空间相这时其运算同一般向量空间相同同, 同样把同样把n维线性空间称为维线性空间称为n维向量空间维向量空间, 它它的元素也称为向量的元素也称为向量.二二 基变换与坐标变换基变换与坐标变换问题问题：同一元素在不同基底下的坐标不同：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐坐标之间的关系如何？标之间的关系如何？定义定义 设设1, 2, …, n与与1, 2, …, n是是n维线性空间维线性空间V的两组基的两组基, 并且并且令令称称P为由基底为由基底1, 2, …, n到到1, 2, …, n的的过渡过渡矩阵矩阵, (1)称为称为基底基底变换公式变换公式.利用矩阵乘法运算的规则利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成可以写成(1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)P.定理定理3.2 设设1, 2, …, n与与1, 2, …, n是线性空间是线性空间V的的两组基底两组基底, 由由1, 2, …, n到到1, 2, …, n的的过渡矩阵为过渡矩阵为P, 如果如果V中任中任意元素意元素在这两组基底下坐标分别为在这两组基底下坐标分别为(x1, x2, …, xn)与与(y1, y2, …, yn), 则则或或或或(y1, y2, …, yn)= (x1, x2, …, xn)(P)-1.称为称为坐标变换公式坐标变换公式.证明证明设设 =x11+x22+ …+xnn=y11+y22+ …+ynn由由(1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)P, 代入得代入得由坐标的唯一性由坐标的唯一性, 得得由上节由上节例例2, P可可逆逆, 因因此此例例3 设设n维线性空间中维线性空间中 1=(1, 0, …, 0),  2=(0, 1, …, 0), …,  n=(0, 0, …, 1)是一组基底是一组基底(自然基自然基)，，  1=(1, 0, …, 0),  2=(1, 1, 0, …, 0), …,  n=(1, 1, …, 1)也是一组基底也是一组基底. 求由基底求由基底 1,  2, …,  n到到 1,  2, …,  n的过渡矩阵及坐标间的过渡矩阵及坐标间的关系的关系.解解则则为基底为基底 1,  2, …,  n到到 1,  2, …,  n的过渡矩阵的过渡矩阵.由由即即例例4 在三维向量空间在三维向量空间R3中求向量对两组基底中求向量对两组基底1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与与1=(3, 1, 4), 2=(5, 2, 1), 3=(1, 1, -6)的不同坐标间的变换公式的不同坐标间的变换公式.解解设设R3中中自然基为自然基为 1=(1, 0, 0),  2=(0, 1, 0),  3=(0, 0, 1)则则得到得到于是于是由由1, 2, 3到到1, 2, 3的过渡的过渡矩阵矩阵从而从而于是于是。