三角形的内角和与外角和概要.ppt

三角形的内角和与外角和三角形的内角和与外角和概要概要学习目标：学习目标：1. 1. 熟练运用三角形的内角和定理熟练运用三角形的内角和定理2.2.理解并掌握三角形的外角性质理解并掌握三角形的外角性质3. 3. 熟练运用三角形的外角和定理熟练运用三角形的外角和定理预习导视：1. 三角形的内角和是多少度？2.三角形的外角与不相邻的内角有什么关系？3. 什么是三角形的外角和？4.三角形的外角和是多少度？撕一撕撕一撕拼一拼拼一拼活动一：活动一：3231平角：平角：1800三角形的三角形的内角和内角和是是1800证法２：证法２：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CE∥BACE∥BA，，∴ ∠A=∠1∴ ∠A=∠1 ( (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) ) ∠B=∠2 ∠B=∠2( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )又又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.辅助线的作法辅助线的作法证法证法3：：过过A作作AE∥∥BC，，∴∠∴∠B=∠∠BAE (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)∠∠EAB+∠∠BAC+∠∠C=180°(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)∴ ∴∠∠B+∠∠C+∠∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.三角形的内角和定理三角形的内角和定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180度。

度ABC几何语言：几何语言：在在△ △ABC中中∠ ∠A+ ∠ ∠B+ ∠ ∠C=180O∠ ∠A=180O –(∠ ∠B+ ∠ ∠C)∠ ∠A+ ∠ ∠B = 180O -∠ ∠C做一做1、n=____ x=_______ y=_______272959直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余 结论结论 2 2、在直角三角形中、在直角三角形中,∠C,∠C是直角，是直角，则则∠A∠A与与∠B∠B的和是多少？的和是多少？返回返回三角形按角大小分类：三角形按角大小分类：三三角角形形锐角三角形锐角三角形（（三个角为锐角三个角为锐角））钝角三角形钝角三角形（（一个角为钝角一个角为钝角））直角三角形直角三角形（（一个角为直角一个角为直角））斜三角形斜三角形（（1））一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？个直角？（（2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？个钝角？（（3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？个锐角？（（4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角一个三角形中，最大的一个角 的度数至少为的度数至少为 .11260°在在△ △ABC中，中，（（1）已知）已知∠ ∠A=80°，，∠ ∠B=52°，， 则则∠ ∠C=＿＿＿＿＿＿＿＿（（2）已知）已知∠ ∠A=80°，， ∠ ∠B-∠ ∠C= 40° 则则∠ ∠C= ＿＿＿＿（（3）已知）已知∠ ∠A +∠ ∠B =100°，， ∠ ∠C =2∠ ∠A，能否，能否求求∠ ∠A 、、∠ ∠B、、∠ ∠C的度数？的度数？（（4）已知）已知∠ ∠A ：：∠ ∠B ：： ∠ ∠C =1：：3：：5，能否，能否求求∠ ∠A 、、∠ ∠B、、∠ ∠C的度数？的度数？48°30°如图如图, ,如果你如果你从从A A走到走到B,B,再转向再转向C C走走, ,能画能画出你出你转弯的角转弯的角吗吗? ?ABCDBD是是AB的延长线的延长线BC是是△ △ ABC的边的边定义定义: :三角形的三角形的一边一边与与另一边的延长线另一边的延长线 所组成的角叫做所组成的角叫做三角形的外角三角形的外角.你能说出你能说出∠ ∠CBD的边与的边与△ △ABC的边的的边的关系吗关系吗?三角形的三角形的外角外角相邻的相邻的内角内角不相邻不相邻的内角的内角不相邻不相邻的内角的内角三角形的外角与相邻内角互为补角。

三角形的外角与相邻内角互为补角∠∠∠∠ ４４４４ 与与与与∠ ∠ ∠ ∠１１１１+ +∠∠∠∠ ２的大小２的大小２的大小２的大小有什么关系？有什么关系？有什么关系？有什么关系？发现发现发现发现：：：： ∠ ∠ ∠ ∠１＋１＋１＋１＋∠ ∠ ∠ ∠２＝２＝２＝２＝∠ ∠ ∠ ∠４４４４思考：如何说明思考：如何说明 ∠ACD= ∠B+ ∠ A∠ACD= ∠B+ ∠ ADABC结论：结论：三角形的一个外角等于与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和D∠ ∠ACD+ ∠ ∠ACB =180°∠ ∠A+ ∠ ∠B+ ∠ ∠ACB =180°所以所以，， ∠ ∠A+ ∠ ∠B= ∠ ∠ACD 解：解：ABC∵ ∵∠ ∠ACB是是△ △ ABC的外角的外角∴ ∴∠ ∠ACB= ∠ ∠A+ ∠ ∠B三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ABCD2、三角形的一个外角、三角形的一个外角等于等于与它与它不相邻的不相邻的两个内角的和两个内角的和3、三角形的外角、三角形的外角大于大于任何一个与它任何一个与它不相邻的不相邻的内角。

内角∠ ∠ACD= ∠ ∠ A+ ∠ ∠ B∠ ∠ ACD+ ∠ ∠ ACB=180°∠ ∠ACD> ∠ ∠ A∠ ∠ACD> ∠ ∠ B三角形的一个外角与任何一个三角形的一个外角与任何一个与它不相邻的内角之间又有什与它不相邻的内角之间又有什么关系呢？么关系呢？1、外角、外角+ +相邻的内角相邻的内角=180 =180 ˚返回返回三角形的外角和三角形的外角和 对于三角形的每个内角，从与它相邻的对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做相加所得的和，叫做三角形的外角和三角形的外角和思考：三角形的内角和等于思考：三角形的内角和等于180°，，那么三角形的外角和等于多少度？那么三角形的外角和等于多少度？返回返回 三角形外角和三角形外角和BCA）））123所以：所以：∠∠1+ ∠∠2+ ∠∠3= 360 °∠∠1+ = 180 °∠∠2+ = 180 °∠∠3+ = 180 °三式相加可以得到三式相加可以得到 ∠∠1+ ∠∠2+ ∠∠3+ + + = .∠∠ACB∠∠BAC∠∠ABC∠∠ACB ∠∠BAC∠∠ABC540 °而而 ∠∠ACB +∠∠BAC +∠∠ABC= 180 °归纳结论归纳结论： 三角形的外角和等于三角形的外角和等于360°如图：如图：∠∠1＝＝25°，，∠∠2＝＝95°，，∠∠3＝＝30°，则，则∠∠4＝＝_______ADECB143230° 练习练习 练习练习1、如图：、如图：P是是△△ABC内的一点，延长内的一点，延长BP交交AC于点于点D,用用“＜＜”表示表示∠∠1、、∠∠2、、∠∠A的大小关系的大小关系______________________.ABCDP12∠∠A＜＜ ∠∠2＜＜ ∠∠1求证：求证： ∠∠A＜＜∠∠120°30°51°若若∠∠ABP=20°∠∠ACP=30°∠∠A=51°, 求求∠∠1的度数？的度数？在在△ △ABC 中中, ∠ ∠A=∠ ∠B=∠ ∠C ,求该三角形的形状。

求该三角形的形状如图，在如图，在△ABC△ABC中，已知中，已知ADAD是是△ABC△ABC角平分线，角平分线，DEDE是是△ADC△ADC的高线，的高线，∠B∠B＝＝6060° ，，∠C∠C＝＝4545° ，， 求求∠ADB∠ADB和和∠ADE∠ADE的度数的度数 做一做做一做如图，如图，AD、、AE分别是分别是△ △ABC的角的角平分线和高，若平分线和高，若∠ ∠B = 46°，，∠ ∠C = 54 °，你能求出，你能求出∠ ∠DAE的度数吗？的度数吗？ECABD一一块模板如模板如图所示，按所示，按规定定AF、、DE的延的延长线相交成相交成85°角，因交点不在板角，因交点不在板上，不便上，不便测量，工人量，工人师傅傅连结AD，，测得得∠∠FAD=34°，，∠∠ADE=63°，那么，那么这块模板符合不符合模板符合不符合规定？定？为什么？什么？DAFEM34 °63 °如图如图,某同学把一块三角形的玻璃打某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片碎成三片,现在他要到玻璃店去配一现在他要到玻璃店去配一块形状完全一块形状完全一 样的玻璃样的玻璃,那么最省那么最省事的办法是事的办法是 ( )(A)带带①①去　　　　去　　　　(B)带带②②去　　　　　去　　　　　(C)带带③③去　　　　去　　　　(D)带带①①和和②②去去C1 1、将一副三角板按如图方式放置，则两条、将一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角斜边所形成的钝角∠1∠1＝＝____________1如图所示：求如图所示：求∠∠A+∠∠B+∠∠C+∠∠D+∠∠E　的度数？　的度数？EDCBA12解：解：∵∠∵∠1＝＝ ∠∠A+ ∠∠D（三角形的外角等于与它不（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）相邻的两内角的和）又又∵∠∵∠2＝＝ ∠∠B+ ∠∠E（三角形的外角等于与它不（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）相邻的两内角的和）∴∴ ∠∠A+∠∠B+∠∠C+∠∠D+∠∠E=(∠∠A+ ∠∠D)+(∠∠B+ ∠∠E)+∠∠C=∠∠1+∠∠2+∠∠C=180°挑战！！！A AB BP PC C思考题思考题证明：证明：PA+PB>AB (1) PA+PC>AC (2) PB+PC>BC (3)∴∴(1)+(2)+(3)得得 2PA+2PB+2PC>AB+AC+BC ∴∴ PA+PB+PC> (AB+AC+BC)如图如图,P为为△ △ABC内任一点内任一点.试说明试说明PA+PB+PC> (AB+BC+AC)CBAＯＯ１１２２ 在在△ △ABC中，中，∠ ∠A=８０８０°，，∠ ∠ ＡＡBＣ和Ｃ和∠ ∠ＡＡ ＢＢC的平分线相交于Ｏ，的平分线相交于Ｏ，（１）求（１）求∠ ∠ＢＯＣ的度数。

ＢＯＣ的度数２）（２） 将将∠ ∠A换个度数，那求出是多少？换个度数，那求出是多少？你能体会你能体会∠ ∠A和和∠ ∠ＢＯＣ有什么关系吗？ＢＯＣ有什么关系吗？∠ ∠ＢＯＣ＝９０ＢＯＣ＝９０ ° +　　　　∠ ∠ＡＡ１１２２2、、 △△ABC中，中，BE为为∠∠ABC的平分线，的平分线，CE为为∠∠ACD的平分线，两线交于的平分线，两线交于E点你能找出你能找出∠∠E与与∠∠A有什么关系吗？有什么关系吗？EDCBA②②三角形的一个外角等于与它三角形的一个外角等于与它不相邻的不相邻的两个内角的和两个内角的和③③三角形的外角大于任何一个与它三角形的外角大于任何一个与它不相邻的不相邻的内角①①外角外角+ +相邻的内角相邻的内角=180 =180 ˚ 凭凭勤勤奋奋出出成成果果向向效效率率要要质质量量。