乒乓球11分新赛制模型---UMD-Department-of-Computer-….doc

乒乓球11分新赛制模型 成员: 叶品星ﻩ００1840４3 信息科学院计算机科学系00 Ａ班李建 ﻩ00234214ﻩ地理科学与规划学院水资源环境科学关沛勇ﻩ０0１８４0４5　 信息科学院计算机科学系0０　A班 　 　 　 　 　 中山大学 　510２75 广州 年6 月16日目 　录摘要ﻩ3§１ 问题重述 3§2　基本假设 3§3　术语阐明 ３§4 符号阐明 3§5 问题初步分析ﻩ４§6 模型的建立与求解 4§６.1选手竞技能力模型 4§６.２单回合胜率模型 5§６.3单盘比赛胜率模型ﻩ5§6.4单场比赛胜率模型ﻩ11§6.5几种赛制的比较 13§6.５．１比赛偶尔性 １３§6.5.2比赛剧烈限度 １5§6.5．2几种赛制的综合评价以及建议ﻩ……………………………………………………..16§7 对模型的评价和改善ﻩ18ﻬ乒乓球１１分新赛制模型叶品星 ﻩ李建 关沛勇摘要 : 本文由乒乓球运动员的竞技能力出发 , 通过逐渐求出比赛中单回合胜率　,　单盘胜率和整场胜率　． 乒乓球比赛中一盘内比分变化的状况比较复杂 ,　为了更精确的描述问题 ，　本文建立了典型组合数学和正则马尔可夫链２种模型来计算单盘比赛的胜率 . 获得胜率后 , 根据单回合胜率和整场胜率的关系定义比赛的偶尔限度 , 根据比分记录的状况定义比赛的剧烈限度 , 最后从这2个原则对题目中给出的4中赛制进行综合评价　， 并给出作者的意见 ．核心字 ： 乒乓球11分制 ， 偶尔性 , 剧烈限度1. 问题重述(略)2. 基本假设(1) 假设比赛的成果只和比赛双方的技术水平和心理素质有关　,　不考虑对手的多种干扰　, 也不考虑其她场内场外因素(涉及裁判 ,　球台和观众等) .(2) 假设所有的比赛都可以在规定期间内完毕 , 即不浮既有抽签或其他非得分因素决定赛果的也许 ．(3) 假设所有赛制下　，　影响同一运动员在单回合比赛中水平的因素是一致的　.(4) 假设不浮现平局 .(5) 不影响问题实质地 ，　假设仅考虑单打比赛(6) 为表述以便 ， 假设比赛的双方运动员分别为a和b　,　比赛中比分（i，ｊ)是指a获得ｉ分 ， b获得j分 .3. 术语阐明(1) 一种回合 ——— 球处在比赛状态的一段时间 . (2) 球处比赛状态 ——— 从发球时　,　球被故意向上抛起前 ,　静止在不执拍手掌上的一瞬间 .　到该回合被判得分或重发球 ． (3) 重发球 ———　不予判分的回合　. (4) 一分 :　判分的回合 ． (5) 一盘比赛 ——— 在一盘比赛中　, 先得11分(21分制为21分）的运动员为胜方 , 打到１0(21分制为20)平后来,先多得2分者为胜方 . (6) 一场比赛 ——— 一场比赛可采用三局两胜制 ， 五局三胜或七局五胜制 , 应持续进行　, 但可按照规定在每盘比赛之间进行休息 .(7) 发球和接发球顺序及方位 ——— 纪录的比分每到2(2１分制为5)分　， 接发球一方即成为发球的一方 ,　按此类推直到一局结束 ，　或到１０(2１分制为2０)平 , 或到开始实行轮换发球法　．　在10(２1分制为20)平后 ,　比分每到1(21分制为2)分互换发球 ．4. 符号阐明μa ——— 运动员a的技术水平 ．σａ ———ﻩ运动员a水平发挥的稳定性 .Saﻩ——— 运动员a的临场竞技能力 .Baﻩ——— 运动员a在单回合比赛中的胜率　.Gaﻩ——— 运动员a在单盘比赛中的胜率 .Ma ——— 运动员ａ在单场比赛中的胜率 ．T(i1,j1),(i2,ｊ2) ———ﻩ乒乓球比赛中双方比分从（i1,ｊ１)到(i2，j2)的概率　.Ocﻩ——— 比赛的偶尔性　．Exﻩ——— 比赛的剧烈限度 .（i , j)——— 比赛得分为i比ｊ　．Jｎ ———ﻩ第n回合开始前的比分记录Ｆ（i,j)———ﻩ场上比分为(ｉ，j)时比赛的剧烈限度 ．ＫeyＳcoｒｅﻩ———ﻩ为获得比赛胜利的至少得分　, 11分制为11 , ２１分制为21Tiﻩ——— KeySｃore为i时比分记录的转移概率矩阵ｆ(i,j) ——— 某一回合开始前比分为(i,ｊ）时 ， 该回合比赛的剧烈限度F(i,j)　——— 浮现比分(i，j)时　,　整盘比赛的剧烈限度FG ———ﻩ比赛的剧烈限度Lk(ｉ,j）——— 达到比分(i,j)的第ｋ条比分记录途径5. 问题初步分析在忽视裁判 , 球台和观众的状况下 ,　可以觉得单个回合的胜负概率由且仅由比赛双方运动员的技术水平和心理因素决定　. 这样 , 在比赛规则拟定后来 ,　可以觉得单回合胜率是比赛双方个人因素的函数 ， 单盘比赛的胜率是回合胜率的函数 , 单场比赛的胜率是单盘胜率的函数 . 也即　:运动员因素 —＞　回合胜率　—> 盘胜率　—> 场胜率由于运动员的水平发挥并不是拟定的 , 可以觉得运动员在每回合比赛中发挥的水平是一种随机变量 .　每回合比赛的成果就是一种随机事件 ， 因此竞技能力高的选手不一定在每回合都可以获胜 ， 比赛的成果存在偶尔性 . 通过对乒乓球比赛状况和”偶尔性”的语义的分析　,　我们觉得比赛的偶尔性可以先做如下粗略定义（设μa为运动员a的技术水平) :Ｏc　= Ｐ{ a选手战胜b选手 | μa>μb }ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （1)也即在ａ号选手技术水平强于于ｂ号选手时 ,　a号选手获胜的概率 .在分析了”比赛剧烈限度”的语义后 , 我们觉得浮现拉锯战 ，　即比赛双方的得分比较接近并且交替上升的状况是使运动员感觉比赛剧烈　， 观众感觉比赛刺激的重要因素 . 设比赛中的每个回合开始前场上的比分为(i，j） , 我们可以是该回合的剧烈限度双方比分（ i ,　j ）的函数 . 回合的剧烈限度随着比分差的绝对值｜ i – j ｜的减少而增大 ,　这是由于比分越接近比赛的成果就越难以预料　, 双方运动员越会竭尽全力求取该回合的胜利 ,　观众的情绪也越高 . 此外　, 当得分i　， j越接近取胜分值(11分或21分) , 比赛越剧烈 ， 这是由于比分越接近取胜分值 , 该回合对比赛胜负的意义就越大 . 6. 模型的建立与求解6.1 选手竞技能力模型影响一种乒乓球运动员的技术水平有多种因素 , 涉及力量 , 技巧 , 速度和反映能力等 .　同步 , 不同的运动员在发球　, 接球和扣球等环节有各自的特色 , 要权衡多种因素 ,　对运动员的竞技水平作出综合评价是很困难的　. 为了简化模型的讨论 , 在不影响模型有效性的前提下　， 我们觉得运动员的技术水平可以用一种原则化的指标μ衡量　. 运动员a的技术水平比运动员ｂ 的技术水平高当且仅当μa＞μｂ　.同步　, 在竞技比赛中还必须考虑多种非技术因素 .　其中 , 运动员的心理素质和心理状态对技术水平的发挥有着极大的影响 .　心理素质过硬的运动员即便在重要的大型比赛中也能正常发挥甚至超常发挥 ; 反之 ，　运动员如果存在多种心理承当 , 患得患失 , 则会浮现马失前蹄的状况　．　此外选手在某一回合的临场发挥还会受到目前比分 , 落后或领先的差距 , 体能体力和偶尔失误等各方面因素的影响 . 鉴于上述因素　， 运动员在比赛中发挥水平的高下不仅与多种因素有关 ,　并且这些因素都属于随机变量 ，　精确建模比较困难　．　但根据古典概率中的一般化的中心极限定理(Lｉndeｒberg-Fｅｌlｅr) ,　若某一数量指标由诸多种随机因素决定　， 而每个因素所起的作用都不明显（符合Lｉnｄｅberg条件）　, 则这个指标符合正态分布　． 设运动员a在单回合比赛中发挥的竞技能力的随机变量为Ｓa　, 有ﻩﻩ\＊　ＭＥＲGEFORＭAT　(2)其中 ，　μa表征运动员a的在平均状态下发挥的技术水平　, σa表征运动员状态发挥的稳定性　, 也即临场水平与正常水平偏离的限度　. 6.2 单回合胜率模型假定在运动员a和b的某一回合比赛中　,　ａ的临场发挥水平为Sa , b的临场发挥水平为Ｓｂ　， a在本回合取胜的概率为　：ﻩ (3)由于在基本假设中我们不考虑运动员之间的互相干扰　, 即觉得随机变量Si , Sj是互相独立的　. 其联合分布密度为 ：ﻩ \＊ ＭＥRGEFＯRMAT （4)ﻩa的胜率为ﻩﻩ（5)ﻩﻩ不考虑平局　, ｂ的胜率为 ﻩ\＊ MＥＲGＥFＯRMAT (6)ﻩ6.3 单盘比赛胜率模型模型一　假设运动员在每个回合比赛的胜率是一定的 , 即跟回合开始前的比分无关 , 则可以用古典概率论的措施计算出运动员a和b的单盘比赛胜率 .为以便讨论 ， 对运动员a和b的单回合胜率Ba和Ｂb　, 设λ=Ba , η＝Bb=１-λ.　i) 若运动员a以胜需要的至少分值KeySｃｏre(1１分制为11分 ， 21分制为21分)获胜 ， 则场上的最后比分也许是（KeySｃore ， 0） ， （ＫeyScore , 1) , … ,　(KeyＳｃorｅ ,　KeｙScore-2) . 多种回合的比赛可以当作是多次独立随机实验 . 因此　, 在任何一方得分都不不小于KeyScorｅ时 , 场上浮现比分（i,j)的概率为 运动员ａ要以KeyＳcoｒe获胜　, 则必须在比分为（KｅyScore-１ ,　０) ， (KeyScｏrｅ－１ ,　1）　,　… , （ＫeyScｏre－1　， KeyScore-2)时再胜一回合 ， 由古典概型的加法和乘法公式 , 总的概率有　:ﻩ (7)ﻩﻩ ii) 若场上比分达到（KeyScoｒe-１ ,　KeyScore-1) , 取胜规则变成先领先2分的运动员获胜 .　对与比分(i，ｊ） ， 记随机变量DelｔaScore =　i – j ． 将DｅltaScｏre当作数轴上的一种随机游动的质点 .　若运动员a在下一种回合获胜 , 则质点向正方向移动一种单位 , 反之向负方向移动一种单位 ． 由于有领先２分即获胜的规则 , 在点　-2　和 ２ 处分别设立吸取壁　. 若质点最后被 -２ 吸取 ，　则ａ获胜 , 若被　2 吸取 ,　则b获胜 . 这样　， 在这个直线随机游动中 ,　质点的初始位置为DeltａSｃoｒe　＝　(KeｙScoｒe-1) – (KｅyＳｃorｅ-1)　＝　0 ,　正向移动的概率为λ　,　负向移动的概率为η , 吸取壁为　－2 和 ２ .0-112-2ηλ图一 直线上有2个吸取壁的随机游动定理一　对于数轴上的随机游动　， 假定质点在时刻t=0时 , 位于x=ｋ　,　而在x＝A及x=Ｂ处(Ａ＜=0<=B）各有一吸取壁　, 质点在下一时刻正向移动的概率为λ , 负向移动的概率为η=1-λ . 则质点最后被吸取壁吸取的概率为1证明 : 设　， 有 (8) 时 , 由ﻩ 记ﻩr＝λ/η　, dｋ＝pk＋１-pｋ　, (9)上式化为ﻩ由及pA＝1 , pB=0知 : 由等比数列求和公式有 ﻩ ﻩ再由得 ﻩ＼* ＭERＧEFＯRMAT (10)同理 , 设 , 有ﻩ (１1)因此有　, 证毕 . ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ □根据上述定理 ，　比赛最后决出胜负并结束的概率为１ . 对于吸取壁设在 -2　和　2 ， 质点初始位置为0的随机游动 , 按质点被 2 吸取的概率 ,　也即a的胜率为。