固体物理学例题课件.ppt

补充例题 03,试做出简单立方晶格、面心立方晶格和,体心立方晶格的维格纳 塞茨原胞(Wingner-Seitz),WS原胞,由某一个格点为中心,做出最近各点和次近,各点连线的中垂面,这些包围的空间为,维格纳塞茨原胞,补充例题 01,做出石墨烯Graphene 的原胞,Graphene(石墨烯)的两种原胞取法，,每个原胞有,2个,碳原子,Graphene,补充例题 02,做出石墨 Graphite的原胞,石墨原胞取法，,每层2个原子，,取两层,原胞有,4个,碳原子,Graphite,A层,B层,简单立方的WS原胞,原点和,6,个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体,面心立方晶格,的WS原胞,为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的,正十二面体,体心立方,的WS原胞,为原点和,8,个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的,6,个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的,14,面体,（截角八面体）,其中八个面是正六边形，六个面是正四边形,习题1.2,习题1.1,习题1.3,晶格常数为,a,的简立方晶格，与正格矢,R,正交的晶面族指数是什么？,晶面间距d是？,习题1.4 绘画石墨烯的普通原胞 和WS原胞,a,1,a,2,a,3,-a,3,-a,2,-a,1,四指数,晶向指数,，取与坐标轴的,垂直截距,，而非平行四边形截距。

1,0,-1,0,a,1,a,2,-a,2,-a,1,1,1/2,0,2,1,0,三指数,晶向指数,取与坐标轴的,平行四边形,截距,(坐标)为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）,六角晶格特殊的晶面指数表示,习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方习题1.8,证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为(,h,1,h,2,h,3,)的晶面系习题1.6,(试用倒格矢关系证明),习题1.5,计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ,习题二,提示1)：,提示2)：,双原子链：,M=m:,得到等质量一维双原子链：,等质量一维双原子链：,一维单原子链：,等价性？,等质量一维双原子链相当于取单原子链,原胞两倍为晶胞,，对应1BZ大小减半，单原子链超出部分的色散曲线,折叠入1BZ,成为光学支，保持1BZ总格波模式为,“N=原子数”-这也是为什么使用原胞概念.,练习 3.1,解释概念,格波,色散关系,声子,几种简单情况下振动模式密度的表示,例1：计算,一维单原子链,的振动模式密度最大频率,振动模式密度定义：,一维情况下,每个波矢占据宽度,单位长度里的波矢密度：,dq长度里的波矢数：,考虑到一个频率可以有 两个值,振动模式密度,一维单原子链,的振动模式密度,类似的，一维双原子链,的振动模式密度,几种简单情况下振动模式密度的表示,例2：计算,三维长声学波在弹性波近似下,的振动模式密度。

其中弹性波色散关系，,由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，球壳体积：,弹性波态密度呈现抛物线形10/36,直接由态密度定义，,dn,=密度*体积,1.,由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，ds 积分即该球面面积：,于是：,方法2.,直接利用公式：,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10,习题3.1,色散关系没有方向性(q,x,q,y,无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例3：,N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，,用徳拜模型计算比热,证明其低温下与 T,2,正比证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq,q,x,q,y,q,二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为,v,L,v,T,令,先确定德拜频率,w,D,：,热容表示为，,二维格波总模式数 2N,把态密度和德拜频率,w,D,带入热容公式：,做变量代换,热容表示为，,高温时,，,对积分内只保留,x,的一阶小量,与经典热容理论一致,.,低温时,，,热容与温度平方成正比,.,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10,习题3.2,其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：,推广可以证明：如果色散关系,提示：,二维,三维,一维,习题3.3,对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；,并证明高温热容为常数,Nk,B,低温热容正比于 T。

固体物理教程-王矜奉 习题 3.13,注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq色散关系没有方向性(q,x,q,y,无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例3：,N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，,用徳拜模型计算比热,证明其低温下与 T,2,正比证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq,q,x,q,y,q,二维简单晶格共有2支格波：,例1：,分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能方法1,电子浓度,方法2 E 到 E+dE 间电子数,总电子数,习题：证明,二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数 ;,一维自由电子的态密度(除以单位长度)E,-1/2,；,（并求出各自费米面处态密度）,自由电子模型，,温度 T 下电子满足,:,TEST,test,例1：,分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能TEST,例题1 计算一维单原子链的紧束缚能带,(L=,na,),对于中心原子，只考虑左右近邻，,R,s,=,a,利用,具有相同的值,k,=0,例题2 计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带,s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同,对于不同方向的近邻，有相同的值,具有相同的值,s 态波函数为偶宇称,能量本征值,。