0423初三数学-利用函数模型解决问题-1教案.docx

教 案教学基本信息课题 利用函数模型解决问题学科数学学段： 初中年级九年级教材书名：北京版数学教科书 出版社：北京出版社 出版日期： 2015年7月教学设计参与人员姓名单位设计者刘宇航北京市门头沟区京师实验中学实施者刘宇航北京市门头沟区京师实验中学指导者张艳馨北京市门头沟区教师进修学校课件制作者刘宇航北京市门头沟区京师实验中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.能利用研究函数的一般方法解决简单的实际问题.2.通过利用研究函数的一般方法解决问题，进一步发展阅读能力，画图能力，数形结合能力，解决数学问题的能力.3.在解决问题的过程中增加自信，提高兴趣.教学重点：利用研究函数的一般方法解决简单问题教学难点：数形结合解决问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图本节课我们将从知识概要，关键内容，典型例题三个部分对此类问题进行复习.首先来看第一部分——知识概要. 同学们知道利用函数模型解决问题都涉及了哪些知识吗？知识概要从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数变成了变化的量，而变量间的对应关系引出了函数. 函数作为一种数学模型，它反映了客观世界的数量关系和变化规律.初中我们研究了一次、二次和反比例函数.大家还记得是如何研究这三个函数的吗？（1）从实际问题抽象出函数模型.我们首先从实际问题中分析量与量之间的关系，判断自变量和因变量，确定函数关系.（2）研究函数模型的性质.然后经历列表、描点、连线画函数图象的过程，借助函数的多种表示方法，数形结合研究函数的性质.（3）利用函数模型解决问题.最后，利用函数模型的图象和性质解决问题.这是贯穿于函数的主线.复习利用函数模型解决问题设计的知识点，把握知识间的内在联系，形成系统认识.关键内容关键问题1：将函数学习经验迁移到新问题中我们应该如何把已经积累的函数研究经验运用到新问题中？利用函数模型解决问题的一般步骤是什么呢？请同学们和我共同来回顾一下：关键问题2：函数思想解决问题函数思想是解决“数学型”问题中的一种思维策略.如果我们能用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易地解决问题.针对本节课的重点和难点，找到本节课的两个关键问题，并找到解决措施.典型例题近几年北京中考中对利用函数模型解决问题进行了考查，这些函数探究问题可以分为以下两种类型：（1）探究给定的未知函数问题（2）探究动态几何背景下的函数问题下面，我们通过几道例题来看一下具体的解答过程.例1（2015北京，26题）有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数的自变量x的取值范围是___________；(2)下表是y与x的几组对应值.x…123…y…m…求m的值；(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.解：（1）（2）将x=3，y=m代入到表达式中，有 （3）（4）观察本题中的函数：它可以分为和两部分，因此研究函数的性质我们可以整体看，也可以局部看.①经过的象限：整体看：图象经过第一、二、三象限；图象不经过第四象限；局部看：时，图象经过第二、三象限；时，图象只在第一象限②与坐标轴的交点情况：整体看：与x轴有一个交点；与y轴无交点；局部看：时，与x轴有一个交点，与y轴无交点；时，与坐标轴无交点.③最值整体看：函数没有最大值和最小值；局部看：时，函数没有最大值和最小值；时，图象没有最大值，但有最小值；④变化趋势时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大.⑤对称性该函数图象不具有对称性.我们只须写出上述结论中的任意一条即可完成第4问.小结1对研究函数一般步骤的应用：一根据表达式特征确定自变量的取值范围；二根据两个变量之间的对应关系补全表格；三利用“描点法”画出函数图象；四根据图象直观性探究该函数的性质.经历了探究函数一般步骤的第2、3、4步.易错点：能够根据图表正确的画出函数图象是本题解题的关键.画函数图象时需要注意：（1）判断自变量的取值范围（2）根据自变量的取值范围判断图象变化趋势，判断它①是直线还是曲线？②是否向两端无限延伸？③与坐标轴有无交点？④无限接近坐标轴？还是无限远离坐标轴？（3）用直线或平滑曲线在取值范围内从左至右连结，就可以正确画出函数的图象.例2 如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为 cm．解：（1）确定AD的长度是自变量，PC的长度和PD的长度都是这个自变量的函数.（2）（3）方法1：我们需要抓住函数中的变量和动态几何图形中线段长的联系，对于PC=2PD可以用函数思想“翻译”为：自变量AD取相同的值时，两个函数的因变量是2倍的关系，这样我们将这个几何问题转化为一个函数问题. 首先来看函数图象，什么时候PC=2PD呢？我们可以在x轴上取一点Q，点Q的横坐标在0和6之间.过点Q做x轴的垂线，分别交函数PC、PD的图象于点M、N，对于同一个x的值，要想PC=2PD，只需MN=NQ.通过作图和测量，很容易可以知道，x约为2.3或4.0时可以满足要求.xyQNMPDPC–11234567–112345OxyQNMPDPC–11234567–112345O（2）方法2通过表格很容易可以看出，当C点在位置4时，PC=2.70cm，PD=2.30cm，PC与2PD大致相等. 当C点在位置6时，PC=2.25cm，PD=1.13cm，PC和2PD还是大致相等，从而得出当PC=2PD时，AD的长度约为2.3或4.0 cm ．小结2 对研究函数一般步骤的应用：解决这个题目，我们首先根据几何图形中动点的不同位置，经历观察、画图、测量的过程，分析变量的变化趋势，得出变量间的对应关系，判断自变量和因变量，确定函数关系，建立函数模型.利用函数模型解决问题.经历了函数探究一般步骤的第1、第2、第3和第5步易错点 ：（1）判断自变量和因变量是正确解题的一个关键.为此我们需要把握函数概念的两个实质：两个变量互相联系，对于自变量确定的每一个确定的值，对应的函数值都唯一确定. 同学们可以思考一下，在我们的实际生活中，有没有一个变化过程中的多个变量，都可以作为自变量的情况呢？ （2） 能够应用函数思想，运用数形结合的方法，利用图象解决问题是这道题的另一个关键. 抓住函数中的变量和动态几何图形中线段长的联系，这样对于几何问题PC=2PD我们可以用函数思想 “翻译”为：自变量取相同的值时，两个函数的因变量是2倍的关系，这样我们将几何问题转化为函数问题来解决，然后数形结合，利用图象的直观性和表格的数据分析，得到线段之间的数量关系，进而解决问题.探究给定的未知函数问题.利用研究函数的一般方法解决问题.总结本题的解题步骤和易错点.探究动态几何背景下的函数问题利用研究函数的一般方法解决问题.总结本题的解题步骤和易错点.总结反思本节课我们共同复习了研究函数的一般步骤：第一步，在实际问题中，经历观察、画图、测量，发现变化过程中的对应关系.第二步，分析量与量之间的关系，判断自变量和因变量，明确取值范围，确定函数关系，建立函数模型.在此，我们需要把握函数概念的两个实质：两个变量互相联系，对于自变量确定的每一个确定的值，对应的函数值都唯一确定.函数是刻画同一变化过程中两个变量之间对应关系的模型.第三步，多种方法表示函数，画图像时需要注意：先描点，确定图象的变化趋势，然后在取值范围内连线.第四步，观察函数的多种表达形式，数形结合得出函数性质.第五步，将函数思想作为一种思维策略，用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.近几年北京中考对利用函数模型解决问题进行考查，从考查给定的未知函数问题到考查动态几何背景下的函数问题，从考查研究函数的基础知识和基本技能，到考查利用函数模型解决问题的全过程.思考：利用函数模型解决问题，还可以从哪些方面考查呢？总结回顾本节课 的主要内容，加深对知识的的理解.。