(完整版)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用毕业论文.doc

目录摘要 2Abstrqct 31 引言 32 方程问题 42.1 方程实根的正负情况 42.2 求方程实根的个数 42.3 含参数的方程 53 不等式问题 63.1 无理不等式 63.2 二元二次不等式组 63.3 高次不等式 73.4 绝对值不等式 73.5 含参数的不等式 74 最值问题 84.1 转化为直线的截距 84.2 转化为直线的斜率 84.3 转化为距离 95 函数问题 105.1 比较函数值的大小 105.2 函数的定义域 115.3 函数的值域 115.4 函数求值 125.5 函数的单调区间 125.6 函数的奇偶性 ,单调性 136 解决线性规划问题 13参考文献 14致谢 14谈数形结合思想在中学数学解题中的应用XXX数学与信息学院数学与应用数学专业 2011 级 指导老师 :XXX摘要： 数形结合思想在中学数学中应用广泛 , 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化在中学数学解题中充分运用数形结合思想 , 有助于学生思维能力的培养 , 有利于他们解题能力的提高。

关键词 : 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题On the combination of application of thought in middle schoolmathematicsXXXCollege of Mathematics and Information Mathematics and AppliedMathematicsGrade 2011 Instructor: XXXAbstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems. Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.Key words: The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem1 引言数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，我们通常把数与形之间的一一对应关系称之为数形结合或形数结合其主要作用是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题将“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题中都有体现， 运用数形结合思想解题， 不仅易于直观的寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理过程，大大简化解题过程下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结2 方程问题方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系 ，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体2.1 方程实根的正负情况若用代数方法研究方程根的情况 ,计算复杂 .但如果用数形结合的方法 , 利用方程与函数的关系 ,画出函数图象 ,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理 ,则形象直观 ,过程明了。

例 1 已知二次方程有一正根和一负根 ,求的取值范围 . 解 :设因为二次项系数大于 0，函数图象开口向上，如图 1所以函数与轴的交点落在轴两侧只需， .解之得， -或.利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏2.2 求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根 ,只要求方程的实根个数 .这就没有必要按常规方法求解 .利用数形结合 ,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数 .例 2 求方程的实根个数解：此题若直接解方程则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单即求两曲线的交点的个数做出函数和的图象，从图 2中可以看出两曲线的交点 M 只有一个，所以，方程只有一个实数解例 3 求方程的解的个数 .解 :作出函数和的图象观察图象 ,两函数图象有 3个交点所以，原方程的解有 3个结合函数定义域正确画出函数图像时要注意交点，分界点可结合函数的性质或简单的计算、估算作出判断2.3 含参数的方程中学数学中常见的是含参数的二次方程，很多数学问题最后都可转化为二次方程问题来处理 在对二次方程问题的探讨中 ,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁而且解题入手点不简明。

若采用数形结合方法解决此类问题 ,则思路自然、结果简明直观 ,易操作 ,容易理解运用例4 集合A {( x, y) | y x2 mx 2} , B {( x, y) | x y 1 0,0 x 2} 且 ,求实数的取值范围解 :由题意得方程 ()等价变形为方程 在(0 ,2)中有解设 , ,则的图象为抛物线段，图象为过定点 (0 ,0)的直线系，其中 L 1 :为切线 ,切点为 (1 ,2)由图 4可知 ,直线系斜率满足时 ,直线系和抛物线段都相交所以，的取值范围是由于方程含有参数，因此画出的函数图像不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系要注意寻找分界点，分界直线3 不等式问题不等式问题也是中学数学的重要内容不等式是解决问题的一种有利工具，而许多复杂的不等式问题也能通过数形结合的方法得到巧妙解决3.1 无理不等式解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式 (组 )求解但上述解法往往运算量大，过程冗长解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率例 5 解不等式解：令则不等式的解就是使的解 在 的上方的那段图象所对应的横坐标， 如图 5 不等式的解集为 。

而可由解得故不等式的解集为 3.2 二元二次不等式组例 6 解不等式组解 :先考虑相应的方程组如图 6，它们分别表示双曲线和圆由 (3)知代入 (4),得所以，原不等式的解集为或熟悉代数式结构，巧用几何意义3.3 高次不等式中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式高次不等式需转化为低次不等式来求解最常用的是数轴标根法例7 解不等式 .解 :因最高次项系数为 - 1 < 0 ,所以原不等式可变形为，方程有实根， ，，说明曲线与轴有交标根，如图 7所示，所以，不等式的解集为 {用数轴标根法求解高次不等式时，要特别注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况3.4 绝对值不等式若用代数求法求解 ,需分情况讨论 ,去除绝对值号来求解 .但分类讨论繁琐 ,过程复杂 .利用数形结合方法 ,将不等式两边视为两个函数，然后在同一直角坐标系中画出它们的图象 ,则求解简单明了例 8 解不等式 ().解：设 ,.两曲线有一个交点 ,且交点在第一象限列出方程即解之得 :所以，原不等式的解集为 :{x | x>｝3.5 含参数的不等式若对参数分类讨论来求解， 过程烦琐 .利用数形结合可大大简化计算过程。

例 9 若不等式 +恒成立 ,求的取值范围解：要使不等式恒成立，只要 +的最小值 .考虑用绝对值的几何意义，把 +理解为到数轴上两点 (-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单当时 ,有+最小值 2.所以的取值范围是与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动态变化的，要注意找出分界情况，当然还需要按参数分情况作图4 最值问题最值问题若采用代数方法求解 ,需要大量的计算 ,过程冗长 ,且较难找到切入点 ,一时之间难以入手， 若能深刻挖掘题目的几何意义将问题巧妙地转化 ,往往能简化过程 ,取得良好的解题效果4.1 转化为直线的截距将所求问题看作直线的。