高中数学数列通项公式的常用求法.doc

数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项二、公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列类型1 递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解已知数列中,,其中……，求数列的通项公式高考题）例3. 已知数列满足，，求类型2 （1）递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项（高考题） 例4. 已知数列满足，，求。

2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有， ，，依次向前代入，得，简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式3）递推式： 解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求.说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.例6．已知， ，求类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解在数列中，若，则该数列的通项 （高考题） 例7. 已知数列中，，，求.类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，） （或,其中p，q, r均为常数）设数列的前项的和， 求首项与通项；（高考题） 解法：该类型较类型3要复杂一些一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决例8. 已知数列中，,，求类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）解法：先把原递推公式转化为 其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解 已知数列满足求数列的通项公式；（高考题）例9. 已知数列中，,,，求类型6 递推公式为与的关系式。

或) 解法：利用进行求解已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an （高考题） 例10. 已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.类型7 双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解例11. 已知数列中，；数列中，当时，,，求,.四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}例12、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a－2}，从而达到解决问题的目的。

例13、数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式例14．已知数列满足，且，求．点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例15．已知数列满足， ，求．点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（高考题）例16、数列满足=0，求数列{a}的通项公式分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列例17、数列中，，求数列的通项公式说明：若本题中取，则有即得为常数列, 故可转化为例13例18．已知数列满足,,求．点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．五、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例19．已知数列满足：求2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）例20：已知数列满足，求数列的通项公式3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列数列求数列的通项公式.（高考题） 例21、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例22．已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型取倒数法)例23：六、构造法： 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例24： 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：， ∴，∵，∴. 即是以2为公差的等差数列，且.∴例25： 数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：∵当n≥2时，令，则，且是以为公比的等比数列，∴.2、构造差式与和式：解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例26： 设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴例27： 数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.解：∴（n∈N*）例27： 数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.3、构造商式与积式：构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例28： 数列中，，前n项的和，求.解： ，∴∴4、构造对数式或倒数式：有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例29： 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴例30： 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.解：∵，两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. ∴。