《复数的四则运算》单元教学设计(2课时).doc

《复数的四则运算》单元教学设计（2 课时） 一、内容和内容解析1.内容复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算．本单元的知识结构：本单元建议用 2 课时：第一课时，复数的加减运算及其几何意义；第二课时， 复数的乘、除运算.2.内容解析引入一类代数对象，就要研究它的运算．本节主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则，本节还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的 . 第一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”， 即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律” . 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理性 . 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方法. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则，是通过复数的减法运算是加法运算的逆运算，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是类比了实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到的 . 在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想，感受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问 题的重要方法,教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共性 . 目的是通过类比，让学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背．如：复数 a+bi 中实部和虚部 a，b 看作常数，i 看作“变元”，从而将复数 a+bi 看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”. 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养.复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的，主要体现在三方面：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法和减法的运算法则．教学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想，感 受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养.综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法 则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．二、目标和目标解析1. 目标（1）掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归 的数学思想方法，发展数学运算素养.（2）发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方 法.（3）了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直 观想象素养.（4）了解在复数集中求解一元二次方程的方法.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则，能够通过减法和加法互为逆运算，除法和乘法互为逆运算，得到减法和除法的运算法则，并在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相 乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）”.达成目标（3）的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则，得出复数加减运算的几 何意义.达成目标（4）的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围 内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”.在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定 . 因前一节刚刚学习了复数的几何意义，学生对复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉，所以，较易得出复数加法的几何意义，同时类比加法的几 何意义，能够得出复数减法的几何意义.由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难，所以本单元的教 学难点是：复数减法和除法的运算法则.四、教学支持条件分析在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板或 Geogebra 软件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量，帮助学生更好地 理解复数加法和减法的几何意义.五、课时教学设计第一课时7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（一）课时教学内容复数的加减运算及其几何意义.（二）课时教学目标1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点教学重点：复数加法运算的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意 义．教学难点：复数减法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数加法运算和减法运算引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算 .我们通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律 .本单元我们主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义 .下节 课我们再学习复数的乘除运算.问题 1 上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的 规则，这个规则是什么？师生活动：学生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法 都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.设计意图：复数加法运算法则是规定的，但这种规定是基于数系扩充的一般规则，先让学生复习数系扩充的一般规则，温故知新，为后续复数加法运算法则 的规定做好铺垫.问题 2 我们规定，复数的加法法则如下：设是任意两个复数，那么它们的和当 b=0,d=0 时， ？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？师生活动： 学生易得 a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致．设计意图：通过特例，让学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法 的运算法则是协调一致的.问题 3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下， 复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？师生活动：教师引导，学生思考回答：可以把复数 a+bi 中实部和虚部看作常数，i 看作“变元”，从而将复数 a+bi 看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项” .教师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加 . 对复数的加法法则不需要死记硬 背.设计意图：让学生通过类比，体会复数加法运算法则和多项式加法运算法则 的联系性.问题 4 复数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？追问：你能试着证明你的结论吗？师生活动：教师引导，学生由多项式加法的交换律和结合律，容易猜测得出复数的加法也满足交换律和结合律 .之后让学生分成两大组，分别证明复数加法 的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评.设计意图：让学生经历观察、类比、猜想、证明的过程，培养逻辑推理素养 .问题 5 我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你 认为该如何定义复数的减法？师生活动：学生思考回答.教师引导：首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数 x+yi（x，y∈R）叫做复数 a+bi（a，b∈R）减去复数 c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)．然后依据复数的加法、复数相等的定义， c+x=a，d+y=b，因此 x=a-c， y=b-d.所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.教师要指出这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般性 的方法．追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减， 也可以看成是合并同类项.设计意图：通过类比实数减法是加法的逆运算，引导学生推导得出复数减法的法则，体会待定系数法是确定复数的一般方法，体会类比是研究问题的常用的 逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.2.复数加、减运算的几何意义问题 6 复数的几何意义是什么？追问 1：向量加法的几何意义是什么？追问 2：你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？师生活动：学生思考回答，教师利用 PPT 展示复数的几何意义以及向量加 法的几何意义.师生活动：教师从三个方面进行引导：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法法 则.师生共同推导得出：这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如下图所示，这就是复数加法的几何意义．设计意图：让学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结 合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养.追问 2：类比复数加法几何意义得出的过程，你能得出复数减法的几何意义 吗？师生活动：学生自主探究，类比加法几何意义得出的过程，得出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：3.复数加减运算及其几何意义的简单应用例 1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.设计意图：让学生利用向量加。