2023年一元二次方程知识点归纳总结全面汇总归纳及典型习题1.pdf

一元二次方程 一、本章知识结构框图 二、具体内容 （一） 、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； - 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 , （二） 、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： 实际问题 数学问题 ) 0( 02acbxax 设未知数，列方程 实际问题的答案 ， 数学问题的解 aacbbx242解 方 程 降 次 开平方法 配方法 公式法 >  (1)开平方法：对于形如nx2或) 0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx 2的方程的解法： ~ 当0n时，nx; 当0n时，021xx; 当0n时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ) ②“系数化 1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为 1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式； ④求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解 （3）公式法：一元二次方程) 0( 02acbxax的根aacbbx242 当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221； · 当042 acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042 acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根 （因为这样可以减少计算量另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程 ） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若0ab，则00ba或；  ②因式分解法的一般步骤： 、 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论 ？ （三） 、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围 （1）=acb42 （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a） ①当时00a方程有实数根； （当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根； ） ②当时00a方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理 】 （四）相关练习 （一） 一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）xx3252 … （2）015622xx  （3）5) 2( 7) 1(3yyy （4） mmmmmm57) 2())((2 （5）22) 3( 4) 15(aa 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1) m为何值时，关于x的方程mxmxmm4) 3()2(2是一元二次方程。

（2m） - （2）若分式01872xxx，则x （8x） | 3．由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x的一元二次方程01) 1(22axxa有一个根为 0，则a （1a） (2)已知关于x的一元二次方程) 0( 02acbxax有一个根为 1，一个根为1，则cba ，cba （0，0） （3）& （4）已知 c 为实数， 并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程032cxx的一个根，求方程032cxx的根及 c 的值 （0，-3 ， c=0） （二）一元二次方程的解法 ，  1．开平方法解下列方程： （1）012552x （2）289) 3(1692x （3）` （4）03612y （4）0)31 (2m （5） （6）85) 13( 22x ' ； 2．配方法解方程： （1）0522 xx （2）0152 yy （3）3422 yy 、 3．公式法解下列方程： （1）2632 xx （2）pp3232 （3）yy1172  ￥ （4）2592 nn （5）3) 12)(2(2xxx [ 4．因式分解法解下列方程： （1）09412x （2）04542 yy （3）031082 xx ^ （4）02172xx （5）6223362xxx （6）1) 5( 2) 5(2xx ! （7） 08) 3( 2)3(222xxx 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程） ： （1）128) 72(22x （2）222)2( 212mmmm （3）) 3)(2() 2(6xxxx |  （3）￥ （4）3) 13(2)23(332yyyyy （4）22) 3(144) 52(81xx 、 6．解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程） ： （1）02222nmmxx （2）124322aaxax ； （3）nmnxxnm2)(2 （4）xaxaxxa) 1() 1() 1(2222 | （三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况： （1）4xxx732 （2）xx4) 2( 32 （3）xx54542  》 2．k为何值时，关于 x 的二次方程0962 xkx （1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根 ~ 3．已知关于ｘ的方程mxmx1) 2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根． 4．若方程054) 1( 222aaxax有实数根，求：正整数 a. 5．对任意实数 m，求证：关于 x 的方程042) 1(222mmxxm无实数根.  6．k为何值时，方程0) 3() 32() 1(2kxkxk有实数根. 。